17.3 Тригонометрия

Octave предоставляет следующие тригонометрические функции, в которых углы задаются в радианах. Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте их на pi/180 или используйте функцию deg2rad. Например, sin (30 * pi/180) возвращает синус 30 градусов. Кроме того, Octave предоставляет ряд тригонометрических функций, которые работают непосредственно с аргументом, заданным в градусах. Имена этих функций образованы от названий основных тригонометрических функций с суффиксом «d». Например, sin ожидает угол в радианах, а sind — угол в градусах.

Octave использует тригонометрические функции библиотеки C. Предполагается, что эти функции определены стандартом ISO/IEC 9899. Стандарт доступен по адресу: http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/docs/n1124.pdf. В разделе F.9.1 рассматриваются тригонометрические функции. Поведение большинства функций относительно простое. Однако есть исключения из стандартного поведения. Многие исключения связаны с поведением для -0. Наиболее сложный случай — atan2. Octave точно реализует поведение, заданное стандартом. В том числе, atan2(+- 0, 0) возвращает +- pi.

Следует отметить, что в MATLAB используются другие определения, которые, по-видимому, не различают -0.

: rad = deg2rad (deg)

Преобразовать градусы в радианы.

Входной аргумент deg должен быть скаляром, вектором или N-мерным массивом значений с плавающей точкой одинарной или двойной точности. deg может быть комплексным числом; в этом случае действительная и мнимая части преобразуются отдельно.

Выходной аргумент rad имеет тот же размер и форму, что и deg; градусы преобразуются в радианы с использованием коэффициента преобразования pi/180.

Пример:

deg2rad ([0, 90, 180, 270, 360])
  ⇒  0.00000   1.57080   3.14159   4.71239   6.28319

См. также: rad2deg.

: deg = rad2deg (rad)

Преобразовать радианы в градусы.

Входной аргумент rad должен быть скаляром, вектором или N-мерным массивом значений с плавающей точкой одинарной или двойной точности. rad может быть комплексным числом; в этом случае действительная и мнимая части преобразуются отдельно.

Выходной аргумент deg имеет тот же размер и форму, что и rad; радианы преобразуются в градусы с использованием коэффициента преобразования 180/pi.

Пример:

rad2deg ([0, pi/2, pi, 3/2*pi, 2*pi])
  ⇒  0    90   180   270   360

См. также: deg2rad.

: y = sin (x)

Вычислить синус каждого элемента x, заданного в радианах.

См. также: asin, sind, sinh.

: y = cos (x)

Вычислить косинус каждого элемента x, заданного в радианах.

См. также: acos, cosd, cosh.

: y = tan (z)

Вычислить тангенс каждого элемента x, заданного в радианах.

См. также: atan, tand, tanh.

: y = sec (x)

Вычислить секанс каждого элемента x, заданного в радианах.

См. также: asec, secd, sech.

: y = csc (x)

Вычислить косеканс каждого элемента x, заданного в радианах.

См. также: acsc, cscd, csch.

: y = cot (x)

Вычислить котангенс каждого элемента x, заданного в радианах.

См. также: acot, cotd, coth.

: y = asin (x)

Вычислить арксинус в радианах для каждого элемента x.

См. также: sin, asind.

: y = acos (x)

Вычислить арккосинус в радианах для каждого элемента x.

См. также: cos, acosd.

: y = atan (x)

Вычислить арктангенс в радианах для каждого элемента x.

См. также: tan, atand.

: y = asec (x)

Вычислить арксеканс в радианах для каждого элемента x.

См. также: sec, asecd.

: y = acsc (x)

Вычислить арккосеканс в радианах для каждого элемента x.

См. также: csc, acscd.

: y = acot (x)

Вычислить арккотангенс в радианах для каждого элемента x.

См. также: cot, acotd.

: y = sinh (x)

Вычислить гиперболический синус каждого элемента x.

См. также: asinh, cosh, tanh.

: y = cosh (x)

Вычислить гиперболический косинус каждого элемента x.

См. также: acosh, sinh, tanh.

: y = tanh (x)

Вычислить гиперболический тангенс каждого элемента x.

См. также: atanh, sinh, cosh.

: y = sech (x)

Вычислить гиперболический секанс каждого элемента x.

См. также: asech.

: y = csch (x)

Вычислить гиперболический косеканс каждого элемента x.

См. также: acsch.

: y = coth (x)

Вычислить гиперболический котангенс каждого элемента x.

См. также: acoth.

: y = asinh (x)

Вычислить обратный гиперболический синус каждого элемента x.

См. также: sinh.

: y = acosh (x)

Вычислить обратный гиперболический косинус каждого элемента x.

См. также: cosh.

: y = atanh (x)

Вычислить обратный гиперболический тангенс каждого элемента x.

См. также: tanh.

: y = asech (x)

Вычислить обратный гиперболический секанс каждого элемента x.

См. также: sech.

: y = acsch (x)

Вычислить обратный гиперболический косеканс каждого элемента x.

См. также: csch.

: y = acoth (x)

Вычислить обратный гиперболический котангенс каждого элемента x.

См. также: coth.

: angle = atan2 (y, x)

Вычислить atan (y / x) для соответствующих элементов y и x.

Размер и ориентация y и x должны совпадать. Знаки элементов y и x используются для определения квадрантов каждого результирующего значения.

Эта функция эквивалентна arg (complex (x, y)).

См. также: tan, tand, tanh, atanh.

Octave предоставляет следующие тригонометрические функции, в которых углы задаются в градусах. Эти функции возвращают точные нули в соответствующих точках, а не небольшую погрешность округления, возникающую при использовании радиан. Например:

cosd (90)
     ⇒ 0
cos (pi/2)
     ⇒ 6.1230e-17

: y = sind (x)

Вычислить синус каждого элемента x, заданного в градусах.

Эта функция точнее, чем sin, при больших значениях x и для кратных 180 градусов (x/180 — целое число): в этих случаях sind возвращает 0, а не малое значение порядка eps.

См. также: asind, sin.

: y = cosd (x)

Вычислить косинус каждого элемента x, заданного в градусах.

Эта функция точнее, чем cos, при больших значениях x и для кратных 90 градусов (x = 90 + 180*n, где n — целое число): в этих случаях cosd возвращает 0, а не малое значение порядка eps.

См. также: acosd, cos.

: y = tand (x)

Вычислить тангенс каждого элемента x, заданного в градусах.

Возвращает ноль для элементов, для которых x/180 — целое число, и Inf для элементов, для которых (x-90)/180 — целое число.

См. также: atand, tan.

: y = secd (x)

Вычислить секанс каждого элемента x, заданного в градусах.

См. также: asecd, sec.

: y = cscd (x)

Вычислить косеканс каждого элемента x, заданного в градусах.

См. также: acscd, csc.

: y = cotd (x)

Вычислить котангенс каждого элемента x, заданного в градусах.

См. также: acotd, cot.

: y = asind (x)

Вычислить арксинус в градусах для каждого элемента x.

См. также: sind, asin.

: y = acosd (x)

Вычислить арккосинус в градусах для каждого элемента x.

См. также: cosd, acos.

: y = atand (x)

Вычислить арктангенс в градусах для каждого элемента x.

См. также: tand, atan.

: d = atan2d (y, x)

Вычислить atan (y / x) в градусах для соответствующих элементов y и x.

См. также: tand, atan2.

: y = asecd (x)

Вычислить арксеканс в градусах для каждого элемента x.

См. также: secd, asec.

: y = acscd (x)

Вычислить арккосеканс в градусах для каждого элемента x.

См. также: cscd, acsc.

: y = acotd (x)

Вычислить арккотангенс в градусах для каждого элемента x.

См. также: cotd, acot.

Наконец, есть две тригонометрические функции, которые с повышенной точностью вычисляют специальные аргументы.

: y = sinpi (x)

Точно вычислить синус (x * pi) для каждого элемента x.

Обычная функция sin использует числа с плавающей точкой IEEE и может возвращать результаты, очень близкие к правильному значению (с точностью до нескольких eps), но не точные. Функция sinpi точнее и возвращает ровно 0 для целых значений x, а для полуцелых значений возвращает +1/-1 (например, …, -3/2, -1/2, 1/2, 3/2, …).

Пример
сравнение sin и sinpi для целых значений x

sin ([0, 1, 2, 3] * pi)
⇒
     0   1.2246e-16  -2.4493e-16   3.6739e-16

sinpi ([0, 1, 2, 3])
⇒
       0   0   0   0

См. также: cospi, sin.

: y = cospi (x)

Точно вычислить косинус (x * pi) для каждого элемента x.

Обычная функция cos использует числа с плавающей точкой IEEE и может возвращать результаты, очень близкие к правильному значению (с точностью до нескольких eps), но не точные. Функция cospi точнее и возвращает ровно 0 для полуцелых значений x (например, …, -3/2, -1/2, 1/2, 3/2, …), а для целых значений возвращает +1/-1.

Пример
сравнение cos и cospi для полуцелых значений x

cos ([-3/2, -1/2, 1/2, 3/2] * pi)
⇒
     -1.8370e-16   6.1232e-17   6.1232e-17  -1.8370e-16

cospi ([-3/2, -1/2, 1/2, 3/2])
⇒
       0   0   0   0

См. также: sinpi, cos.