21.5 Различия в обработке нулевых элементов

Представление диагональных и перестановочных матриц в виде самостоятельных специальных объектов и, как следствие, использование более эффективных алгоритмов для некоторых операций приводят, в частности, к небольшим различиям в обработке нулей. Содержание этого раздела также применимо к разреженным матрицам, рассматриваемым в следующей главе. (см. Разреженные матрицы)

Стандарт IEEE для арифметики с плавающей точкой определяет результат выражений 0*Inf и 0*NaN как NaN. Такой компромисс широко признаётся удачным. Однако в численных программах, работающих со структурированными и разреженными матрицами (включая Octave), почти всегда различают «численный ноль» и «подразумеваемый ноль». «Численный ноль» — это нулевое значение в месте, где может находиться любое значение с плавающей точкой. Обычно он где-либо хранится в памяти как явное значение. «Подразумеваемый ноль», напротив, — это нулевой элемент матрицы, обусловленный структурой матрицы (диагональной, треугольной) или шаблоном разреженности; его значение обычно нигде явно не хранится, а подразумевается базовой структурой данных.

Основное различие заключается в том, что при умножении подразумеваемого нуля на любое число или при делении на любое ненулевое число результатом всегда будет ноль, даже если, например, он умножается на Inf или делится на NaN. Такое поведение объясняется тем, что базовый алгоритм фактически нигде не выполняет численное умножение; результат просто считается равным нулю. Иными словами, можно сказать, что часть вычислений с подразумеваемыми нулями выполняется символически, а не численно.

Такое поведение не только упрощает наиболее прямолинейную и эффективную реализацию алгоритмов, но и сохраняет некоторые полезные инварианты, например:

• произведение скаляра на диагональную матрицу является диагональной матрицей
• деление разреженной матрицы на скаляр сохраняет шаблон разреженности
• произведение матрицы перестановок на матрицу эквивалентно перестановке строк

все эти естественные математические истины перестали бы выполняться, если бы подразумеваемые нули обрабатывались как численные.

Обратите внимание, что MATLAB не всегда строго следует этому принципу и в некоторых случаях преобразует подразумеваемые нули в численные, а в других — нет. На сегодняшний день нет намерений воспроизводить такое поведение в Octave.

Примеры последствий различия между подразумеваемыми и численными нулями:

Inf * eye (3)
⇒
   Inf     0     0
     0   Inf     0
     0     0   Inf

Inf * speye (3)
⇒
Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 3 [33%])

  (1, 1) -> Inf
  (2, 2) -> Inf
  (3, 3) -> Inf

Inf * full (eye (3))
⇒
   Inf   NaN   NaN
   NaN   Inf   NaN
   NaN   NaN   Inf

diag (1:3) * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
     2
     3

sparse (1:3,1:3,1:3) * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
     2
     3
[1,0,0;0,2,0;0,0,3] * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
   NaN
   NaN