21.5 Различия в обработке нулевых элементов ¶

Превращение диагональных и перестановочных матриц в отдельные объекты матричного типа и последующее использование более интеллектуальных алгоритмов для определенных операций подразумевает, как побочный эффект, небольшие различия в обработке нулей. Содержание этого раздела также применимо к разреженным матрицам, которые обсуждаются в следующей главе. (см. Разреженные матрицы)

Стандарт IEEE для плавающей точки определяет результат выражений 0*Inf и 0*NaN как NaN. Это широко признано как хорошее компромиссное решение. Однако программное обеспечение для работы с структурированными и разреженными матрицами (включая Octave) почти всегда различает "числовой ноль" и "предполагаемый ноль". "Числовой ноль" — это нулевое значение, встречающееся в позиции, где может быть любое значение с плавающей точкой. Обычно он хранится где-то в памяти как явное значение. "Предполагаемый ноль", напротив, — это нулевой элемент матрицы, подразумеваемый структурой матрицы (диагональной, треугольной) или структурой разреженности; его значение обычно не хранится явно, а подразумевается базовой структурой данных.

Основное отличие заключается в том, что предполагаемый ноль, когда умножается на любое число или делится на любое ненулевое число, всегда даёт ноль, даже если, например, умножить на Inf или разделить на NaN. Причина этого поведения заключается в том, что фактическое численное умножение не выполняется алгоритмом; результат просто предполагается нулевым. Аналогично, можно сказать, что часть вычисления, включающая предполагаемые нули, выполняется символически, а не численно.

Это поведение не только способствует наиболее прямому и эффективному внедрению алгоритмов, но и сохраняет определённые полезные инварианты, такие как:

• скаляр * диагональная матрица — это диагональная матрица
• разреженная матрица / скаляр сохраняет структуру разреженности
• перестановочная матрица * матрица эквивалентна перестановке строк

все эти естественные математические истины были бы нарушены, если бы предполагаемые нули обрабатывались как числовые.

Обратите внимание, что MATLAB не строго следует этому принципу и преобразует предполагаемые нули в числовые в некоторых случаях, а в других нет. На сегодняшний день нет намерений имитировать такое поведение в Octave.

Примеры влияния предполагаемых нулей по сравнению с числовыми нулями:

Inf * eye (3)
⇒
   Inf     0     0
     0   Inf     0
     0     0   Inf

Inf * speye (3)
⇒
Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 3 [33%])

  (1, 1) -> Inf
  (2, 2) -> Inf
  (3, 3) -> Inf

Inf * full (eye (3))
⇒
   Inf   NaN   NaN
   NaN   Inf   NaN
   NaN   NaN   Inf

diag (1:3) * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
     2
     3

sparse (1:3,1:3,1:3) * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
     2
     3
[1,0,0;0,2,0;0,0,3] * [NaN; 1; 1]
⇒
   NaN
   NaN
   NaN