Класс AffineTransform

public class AffineTransform
extends Object
implements Cloneable, Serializable

Класс AffineTransform представляет 2D аффинное преобразование, которое выполняет линейное отображение из 2D координат в другие 2D координаты, сохраняя «прямолинейность» и «параллельность» линий. Аффинные преобразования могут быть построены с помощью последовательностей перемещений, масштабирования, переворачивания, вращения и наклона.

Такое преобразование координат можно представить матрицей 3 строки на 3 столбца с неявной последней строкой [ 0 0 1 ]. Эта матрица преобразует исходные координаты (x,y) в целевые координаты (x',y'), рассматривая их как вектор-столбец и умножая координатный вектор на матрицу в соответствии со следующим процессом:

[ x']   [  m00  m01  m02  ] [ x ]   [ m00x + m01y + m02 ]
      [ y'] = [  m10  m11  m12  ] [ y ] = [ m10x + m11y + m12 ]
      [ 1 ]   [   0    0    1   ] [ 1 ]   [         1         ]

Обработка вращений на 90 градусов

В некоторых вариантах методов rotate в классе AffineTransform аргумент с двойной точностью определяет угол вращения в радианах. Эти методы имеют специальную обработку для вращений примерно на 90 градусов (включая кратные значения, такие как 180, 270 и 360 градусов), чтобы более эффективно обрабатывать распространённый случай вращения на квадрант. Эта специальная обработка может привести к тому, что углы, очень близкие к кратным значениям 90 градусов, будут рассматриваться как точные кратные 90 градусов. Для небольших кратных 90 градусов диапазон углов, обрабатываемых как вращение на квадрант, составляет приблизительно 0,00000121 градуса. Этот раздел объясняет, почему необходима такая особая обработка и как она реализована.

Поскольку 90 градусов представлены как PI/2 в радианах, и поскольку PI является трансцендентным (а значит, иррациональным) числом, невозможно точно представить кратное 90 градусов как точное значение двойной точности, измеренное в радианах. В результате теоретически невозможно описать вращения на квадрант (90, 180, 270 или 360 градусов) с использованием этих значений. Значения с двойной точностью с плавающей запятой могут приближаться к ненулевым кратным PI/2, но никогда не достаточно близко, чтобы синус или косинус были точно равны 0,0, 1,0 или -1,0. Реализации Math.sin() и Math.cos() соответственно никогда не возвращают 0,0 ни в одном случае, кроме Math.sin(0.0). Однако эти же реализации возвращают точно 1,0 и -1,0 для некоторого диапазона чисел вокруг каждого кратного 90 градусов, поскольку правильный ответ настолько близок к 1,0 или -1,0, что разницу нельзя точно представить с помощью мантиссы двойной точности, как это возможно для чисел, близких к 0,0.

Итогом этих проблем является то, что если методы Math.sin() и Math.cos() используются для непосредственного создания значений для модификаций матрицы во время этих операций вращения на основе радиан, то результирующее преобразование никогда не будет строго классифицироваться как вращение на квадрант даже в простом случае, как rotate(Math.PI/2.0), из-за незначительных изменений в матрице, вызванных ненулевыми значениями синуса и косинуса. Если эти преобразования не классифицируются как вращения на квадрант, то последующий код, пытающийся оптимизировать дальнейшие операции на основе типа преобразования, будет ограничен его наиболее общей реализацией.

Поскольку вращения на квадрант довольно распространены, этот класс должен обрабатывать эти случаи достаточно быстро, как при применении вращений к преобразованию, так и при применении результирующего преобразования к координатам. Для обеспечения этой оптимальной обработки методы, принимающие угол вращения в радианах, пытаются определить углы, которые предназначены для вращения на квадрант, и обрабатывают их как таковые. Таким образом, эти методы рассматривают угол тета как вращение на квадрант, если Math.sin(theta) или Math.cos(theta) возвращают точно 1,0 или -1,0. Как правило, это свойство верно для диапазона примерно 0,0000000211 радиан (или 0,00000121 градуса) вокруг малых кратных значений Math.PI/2.0.