torch.linalg.householder_product

torch.linalg.householder_product(A, tau, *, out=None) → Tensor [source]

Вычисляет первые n столбцов произведения матриц Хаусхолдера.

Пусть $\mathbb{K}$ — это $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, а $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ — матрица со столбцами $a_i \in \mathbb{K}^m$ для $i=1,\ldots,m$, причем $m \geq n$. Обозначим через $b_i$ вектор, полученный обнулением первых $i-1$ компонент вектора $a_i$ и присваиванием значения 1 его $i$-й компоненте. Для вектора $\tau \in \mathbb{K}^k$, где $k \leq n$, эта функция вычисляет первые $n$ столбцов матрицы

$$H_1H_2 ... H_k \qquad\text{with}\qquad H_i = \mathrm{I}_m - \tau_i b_i b_i^{\text{H}}$$

где $\mathrm{I}_m$ — единичная матрица размерности m, а $b^{\text{H}}$ — сопряжённое транспонирование, если $b$ является комплексным, и транспонирование, если $b$ имеет вещественные значения. Выходная матрица имеет тот же размер, что и входная матрица A.

Дополнительные сведения см. в разделе Представление ортогональных или унитарных матриц.

Поддерживаются входные данные с типами float, double, cfloat и cdouble. Также поддерживаются пакеты матриц; если входные данные являются пакетами матриц, выходные данные имеют те же размеры пакета.

См. также

torch.geqrf() можно использовать вместе с этой функцией для получения Q из разложения qr().

torch.ormqr() — родственная функция, которая вычисляет произведение матрицы на произведение матриц Хаусхолдера. Однако эта функция не поддерживает autograd.

Предупреждение

Вычисление градиентов корректно только в том случае, если $\tau_i \neq \frac{1}{||a_i||^2}$. Если это условие не выполняется, ошибка не возникнет, но вычисленный градиент может содержать NaN.

Параметры:

• A (Tensor) – тензор формы (*, m, n), где * — ноль или более пакетных размерностей.
• tau (Tensor) – тензор формы (*, k), где * — ноль или более пакетных размерностей.

Именованные аргументы:

out (Tensor, необязательный) – выходной тензор. Игнорируется, если None. По умолчанию: None.

Исключения:

RuntimeError – если A не удовлетворяет требованию m >= n или tau не удовлетворяет требованию n >= k.

Примеры:

>>> A = torch.randn(2, 2)
>>> h, tau = torch.geqrf(A)
>>> Q = torch.linalg.householder_product(h, tau)
>>> torch.dist(Q, torch.linalg.qr(A).Q)
tensor(0.)

>>> h = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> tau = torch.randn(3, 1, dtype=torch.complex128)
>>> Q = torch.linalg.householder_product(h, tau)
>>> Q
tensor([[[ 1.8034+0.4184j,  0.2588-1.0174j],
        [-0.6853+0.7953j,  2.0790+0.5620j]],

        [[ 1.4581+1.6989j, -1.5360+0.1193j],
        [ 1.3877-0.6691j,  1.3512+1.3024j]],

        [[ 1.4766+0.5783j,  0.0361+0.6587j],
        [ 0.6396+0.1612j,  1.3693+0.4481j]]], dtype=torch.complex128)