Сравнение линейных байесовских регрессоров

Генерация синтетического набора данных

Мы генерируем набор данных, где X и y связаны линейно: 10 признаков X будут использованы для генерации y. Другие признаки не полезны для предсказания y. Кроме того, мы генерируем набор данных, где n_samples == n_features. Такая ситуация представляет вызов для модели OLS и может привести к произвольно большим весам. Наличие априорного распределения по весам и штрафа позволяет смягчить проблему. В конечном счёте добавляется гауссово шума.

from sklearn.datasets import make_regression

X, y, true_weights = make_regression(
    n_samples=100,
    n_features=100,
    n_informative=10,
    noise=8,
    coef=True,
    random_state=42,
)

Подгонка регрессоров

Теперь мы подгоняем обе байесовские модели и OLS для последующего сравнения коэффициентов моделей.

import pandas as pd

from sklearn.linear_model import ARDRegression, BayesianRidge, LinearRegression

olr = LinearRegression().fit(X, y)
brr = BayesianRidge(compute_score=True, max_iter=30).fit(X, y)
ard = ARDRegression(compute_score=True, max_iter=30).fit(X, y)
df = pd.DataFrame(
    {
        "Weights of true generative process": true_weights,
        "ARDRegression": ard.coef_,
        "BayesianRidge": brr.coef_,
        "LinearRegression": olr.coef_,
    }
)

Построение истинных и оцененных коэффициентов

Теперь сравним коэффициенты каждой модели с весами истинной генерирующей модели.

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from matplotlib.colors import SymLogNorm

plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = sns.heatmap(
    df.T,
    norm=SymLogNorm(linthresh=10e-4, vmin=-80, vmax=80),
    cbar_kws={"label": "coefficients' values"},
    cmap="seismic_r",
)
plt.ylabel("linear model")
plt.xlabel("coefficients")
plt.tight_layout(rect=(0, 0, 1, 0.95))
_ = plt.title("Models' coefficients")

Из-за добавленного шума ни одна из моделей не восстанавливает истинные веса. Действительно, все модели всегда имеют более 10 ненулевых коэффициентов. По сравнению с оценщиком OLS, коэффициенты, полученные с использованием байесовской регрессии гребня, незначительно смещены к нулю, что стабилизирует их. Регрессия ARD обеспечивает более разреженный результат: некоторые из неинформативных коэффициентов устанавливаются точно в ноль, в то время как другие смещаются ближе к нулю. Некоторые неинформативные коэффициенты всё ещё присутствуют и сохраняют большие значения.

Построение логарифма маргинального правдоподобия

import numpy as np

ard_scores = -np.array(ard.scores_)
brr_scores = -np.array(brr.scores_)
plt.plot(ard_scores, color="navy", label="ARD")
plt.plot(brr_scores, color="red", label="BayesianRidge")
plt.ylabel("Log-likelihood")
plt.xlabel("Iterations")
plt.xlim(1, 30)
plt.legend()
_ = plt.title("Models log-likelihood")

Действительно, обе модели минимизируют логарифм правдоподобия до произвольного значения отсечения, определённого параметром max_iter.

Генерация синтетического набора данных

Мы создаём целевую переменную, являющуюся нелинейной функцией входного признака. Добавляется шум, следуя стандартному равномерному распределению.

from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures, StandardScaler

rng = np.random.RandomState(0)
n_samples = 110

# sort the data to make plotting easier later
X = np.sort(-10 * rng.rand(n_samples) + 10)
noise = rng.normal(0, 1, n_samples) * 1.35
y = np.sqrt(X) * np.sin(X) + noise
full_data = pd.DataFrame({"input_feature": X, "target": y})
X = X.reshape((-1, 1))

# extrapolation
X_plot = np.linspace(10, 10.4, 10)
y_plot = np.sqrt(X_plot) * np.sin(X_plot)
X_plot = np.concatenate((X, X_plot.reshape((-1, 1))))
y_plot = np.concatenate((y - noise, y_plot))

Подгонка регрессоров

Здесь мы пробуем полином 10-й степени, чтобы потенциально переобучить модель, хотя байесовские линейные модели регулируют размер коэффициентов полинома. Поскольку fit_intercept=True по умолчанию для ARDRegression и BayesianRidge, тогда PolynomialFeatures не должен вносить дополнительный признак смещения. Установив return_std=True, байесовские регрессоры возвращают стандартное отклонение посттериорного распределения для параметров модели.

ard_poly = make_pipeline(
    PolynomialFeatures(degree=10, include_bias=False),
    StandardScaler(),
    ARDRegression(),
).fit(X, y)
brr_poly = make_pipeline(
    PolynomialFeatures(degree=10, include_bias=False),
    StandardScaler(),
    BayesianRidge(),
).fit(X, y)

y_ard, y_ard_std = ard_poly.predict(X_plot, return_std=True)
y_brr, y_brr_std = brr_poly.predict(X_plot, return_std=True)

Построение полиномиальных регрессий со стандартными ошибками оценок

ax = sns.scatterplot(
    data=full_data, x="input_feature", y="target", color="black", alpha=0.75
)
ax.plot(X_plot, y_plot, color="black", label="Ground Truth")
ax.plot(X_plot, y_brr, color="red", label="BayesianRidge with polynomial features")
ax.plot(X_plot, y_ard, color="navy", label="ARD with polynomial features")
ax.fill_between(
    X_plot.ravel(),
    y_ard - y_ard_std,
    y_ard + y_ard_std,
    color="navy",
    alpha=0.3,
)
ax.fill_between(
    X_plot.ravel(),
    y_brr - y_brr_std,
    y_brr + y_brr_std,
    color="red",
    alpha=0.3,
)
ax.legend()
_ = ax.set_title("Polynomial fit of a non-linear feature")

Полосы погрешности представляют собой стандартное отклонение предсказанного гауссова распределения точек запроса. Заметьте, что регрессия ARD лучше всего отражает истинное значение при использовании параметров по умолчанию в обеих моделях, но дальнейшее уменьшение гиперпараметра lambda_init байесовской регрессии гребня может уменьшить её смещение (см. пример Кривая подгонки с помощью байесовской регрессии гребня). В конечном счёте, из-за внутренних ограничений полиномиальной регрессии обе модели терпят неудачу при экстраполяции.

Общее время выполнения скрипта: (0 минут 0.632 секунды)

Download Jupyter notebook: plot_ard.ipynb

Download Python source code: plot_ard.py

Download zipped: plot_ard.zip

Связанные примеры

Модели на основе L1 для разреженных сигналов

Полиномическая и сплайновая интерполяция

Подгонка кривых с помощью байесовской регрессии гребня

Коэффициенты регрессии гребня как функция регуляризации L2