Масштабирование параметра регуляризации для SVC

Генерация данных

В этом примере мы изучаем эффект перепараметризации параметра регуляризации C для учета количества выборок при использовании штрафа L1 или L2. Для этой цели мы создаем синтетический набор данных с большим количеством признаков, из которых только несколько информативны. Следовательно, мы ожидаем, что регуляризация уменьшит коэффициенты к нулю (штраф L2) или точно до нуля (штраф L1).

from sklearn.datasets import make_classification

n_samples, n_features = 100, 300
X, y = make_classification(
    n_samples=n_samples, n_features=n_features, n_informative=5, random_state=1
)

Случай штрафа L1

В случае L1 теория гласит, что при сильной регуляризации оценщик не может предсказывать так же хорошо, как модель, знающая истинное распределение (даже в пределе, когда размер выборки стремится к бесконечности), поскольку он может установить некоторые веса других, в противном случае предсказывающих признаков, в ноль, что вводит смещение. Однако, это говорит о том, что можно найти правильный набор ненулевых параметров и их знаков, настроив C.

Мы определяем линейный SVC со штрафом L1.

from sklearn.svm import LinearSVC

model_l1 = LinearSVC(penalty="l1", loss="squared_hinge", dual=False, tol=1e-3)

Мы вычисляем средний тестовый балл для различных значений C с помощью перекрестной проверки.

import numpy as np
import pandas as pd

from sklearn.model_selection import ShuffleSplit, validation_curve

Cs = np.logspace(-2.3, -1.3, 10)
train_sizes = np.linspace(0.3, 0.7, 3)
labels = [f"fraction: {train_size}" for train_size in train_sizes]
shuffle_params = {
    "test_size": 0.3,
    "n_splits": 150,
    "random_state": 1,
}

results = {"C": Cs}
for label, train_size in zip(labels, train_sizes):
    cv = ShuffleSplit(train_size=train_size, **shuffle_params)
    train_scores, test_scores = validation_curve(
        model_l1,
        X,
        y,
        param_name="C",
        param_range=Cs,
        cv=cv,
        n_jobs=2,
    )
    results[label] = test_scores.mean(axis=1)
results = pd.DataFrame(results)

import matplotlib.pyplot as plt

fig, axes = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, sharey=True, figsize=(12, 6))

# plot results without scaling C
results.plot(x="C", ax=axes[0], logx=True)
axes[0].set_ylabel("CV score")
axes[0].set_title("No scaling")

for label in labels:
    best_C = results.loc[results[label].idxmax(), "C"]
    axes[0].axvline(x=best_C, linestyle="--", color="grey", alpha=0.7)

# plot results by scaling C
for train_size_idx, label in enumerate(labels):
    train_size = train_sizes[train_size_idx]
    results_scaled = results[[label]].assign(
        C_scaled=Cs * float(n_samples * np.sqrt(train_size))
    )
    results_scaled.plot(x="C_scaled", ax=axes[1], logx=True, label=label)
    best_C_scaled = results_scaled["C_scaled"].loc[results[label].idxmax()]
    axes[1].axvline(x=best_C_scaled, linestyle="--", color="grey", alpha=0.7)

axes[1].set_title("Scaling C by sqrt(1 / n_samples)")

_ = fig.suptitle("Effect of scaling C with L1 penalty")

В области малых значений C (сильная регуляризация) все коэффициенты, вычисленные моделями, равны нулю, что приводит к сильному недообучению. Действительно, точность в этой области находится на уровне случайности.

Использование стандартного масштаба приводит к относительно стабильному оптимальному значению C, в то время как переход из области недообучения зависит от количества обучающих выборок. Перепараметризация приводит к еще более стабильным результатам.

См., например, теорему 3 статьи On the prediction performance of the Lasso или Simultaneous analysis of Lasso and Dantzig selector, где параметр регуляризации всегда предполагается пропорциональным 1 / sqrt(n_samples).

Случай штрафа L2

Мы можем провести аналогичный эксперимент со штрафом L2. В этом случае теория гласит, что для достижения согласованности предсказания параметр штрафа должен оставаться постоянным по мере роста количества выборок.

model_l2 = LinearSVC(penalty="l2", loss="squared_hinge", dual=True)
Cs = np.logspace(-8, 4, 11)

labels = [f"fraction: {train_size}" for train_size in train_sizes]
results = {"C": Cs}
for label, train_size in zip(labels, train_sizes):
    cv = ShuffleSplit(train_size=train_size, **shuffle_params)
    train_scores, test_scores = validation_curve(
        model_l2,
        X,
        y,
        param_name="C",
        param_range=Cs,
        cv=cv,
        n_jobs=2,
    )
    results[label] = test_scores.mean(axis=1)
results = pd.DataFrame(results)

import matplotlib.pyplot as plt

fig, axes = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, sharey=True, figsize=(12, 6))

# plot results without scaling C
results.plot(x="C", ax=axes[0], logx=True)
axes[0].set_ylabel("CV score")
axes[0].set_title("No scaling")

for label in labels:
    best_C = results.loc[results[label].idxmax(), "C"]
    axes[0].axvline(x=best_C, linestyle="--", color="grey", alpha=0.8)

# plot results by scaling C
for train_size_idx, label in enumerate(labels):
    results_scaled = results[[label]].assign(
        C_scaled=Cs * float(n_samples * np.sqrt(train_sizes[train_size_idx]))
    )
    results_scaled.plot(x="C_scaled", ax=axes[1], logx=True, label=label)
    best_C_scaled = results_scaled["C_scaled"].loc[results[label].idxmax()]
    axes[1].axvline(x=best_C_scaled, linestyle="--", color="grey", alpha=0.8)
axes[1].set_title("Scaling C by sqrt(1 / n_samples)")

fig.suptitle("Effect of scaling C with L2 penalty")
plt.show()

В случае штрафа L2 перепараметризация, по-видимому, оказывает меньшее влияние на стабильность оптимального значения регуляризации. Переход из области переобучения происходит в более широком диапазоне, а точность, по-видимому, не ухудшается до уровня случайности.

Попробуйте увеличить значение до n_splits=1_000 для достижения лучших результатов в случае L2, что здесь не показано из-за ограничений в инструменте документации.

Общее время выполнения скрипта: (0 минут 23.118 секунды)

Download Jupyter notebook: plot_svm_scale_c.ipynb

Download Python source code: plot_svm_scale_c.py

Download zipped: plot_svm_scale_c.zip

Похожие примеры

Штраф L1 и разреженность в логистической регрессии

Построение графика вероятности классификации

Коэффициенты регрессии Риджа в зависимости от регуляризации L2

Путь регуляризации L1-логистической регрессии