tf.linalg.LinearOperatorBlockLowerTriangular

Объединяет LinearOperators в блочную нижнетреугольную матрицу.

Наследуется от: LinearOperator, Module

tf.linalg.LinearOperatorBlockLowerTriangular(
    operators,
    is_non_singular=None,
    is_self_adjoint=None,
    is_positive_definite=None,
    is_square=None,
    name='LinearOperatorBlockLowerTriangular'
)

Этот оператор инициализируется вложенным списком линейных операторов, которые объединяются в новый LinearOperator, чье матричное представление является квадратным и содержит каждый оператор на главной диагонали или ниже нее, а в остальных элементах — нули. Каждый элемент внешнего списка представляет собой список LinearOperators, соответствующих разбиению блочной структуры на строки. Число LinearOperatorов в строковом разбиении i должно быть равно i.

Например, блочный 3 x 3 LinearOperatorBlockLowerTriangular инициализируется списком [[op_00], [op_10, op_11], [op_20, op_21, op_22]], где op_ij, i < 3, j <= i являются экземплярами LinearOperator. LinearOperatorBlockLowerTriangular имеет следующую блочную матричную структуру, где 0 обозначает матрицы нулей соответствующего размера [пакета]:

[[op_00,     0,     0],
 [op_10, op_11,     0],
 [op_20, op_21, op_22]]

Каждый op_jj на диагонали должен представлять квадратную матрицу и, следовательно, иметь форму batch_shape_j + [M_j, M_j]. LinearOperatorы в строке j блочной структуры должны иметь range_dimension, равный op_jj, а LinearOperators в столбце j должны иметь domain_dimension, равный op_jj.

Если форма каждого op_jj на диагонали равна batch_shape_j + [M_j, M_j], то форма объединенного оператора равна broadcast_batch_shape + [sum M_j, sum M_j], где broadcast_batch_shape — результат взаимного широковещательного распространения batch_shape_j, j = 0, 1, ..., J при условии, что промежуточные формы пакетов совместимы для широковещательного распространения. Даже если форма объединенного оператора определена, его методы могут завершиться ошибкой из-за отсутствия поддержки широковещательного распространения в методах операторов, из которых он составлен.

Например, чтобы создать линейный оператор размером 4 x 4, составленный из трех операторов размером 2 x 2:

>>> operator_0 = tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix([[1., 2.], [3., 4.]])
>>> operator_1 = tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix([[1., 0.], [0., 1.]])
>>> operator_2 = tf.linalg.LinearOperatorLowerTriangular([[5., 6.], [7., 8]])
>>> operator = LinearOperatorBlockLowerTriangular(
...   [[operator_0], [operator_1, operator_2]])

operator.to_dense()
<tf.Tensor: shape=(4, 4), dtype=float32, numpy=
array([[1., 2., 0., 0.],
       [3., 4., 0., 0.],
       [1., 0., 5., 0.],
       [0., 1., 7., 8.]], dtype=float32)>

operator.shape
TensorShape([4, 4])

operator.log_abs_determinant()
<tf.Tensor: shape=(), dtype=float32, numpy=4.3820267>

x0 = [[1., 6.], [-3., 4.]]
x1 = [[0., 2.], [4., 0.]]
x = tf.concat([x0, x1], 0)  # Shape [2, 4] Tensor
operator.matmul(x)
<tf.Tensor: shape=(4, 2), dtype=float32, numpy=
array([[-5., 14.],
       [-9., 34.],
       [ 1., 16.],
       [29., 18.]], dtype=float32)>

Приведенный выше matmul эквивалентен следующему:

>>> tf.concat([operator_0.matmul(x0),
...   operator_1.matmul(x0) + operator_2.matmul(x1)], axis=0)
<tf.Tensor: shape=(4, 2), dtype=float32, numpy=
array([[-5., 14.],
       [-9., 34.],
       [ 1., 16.],
       [29., 18.]], dtype=float32)>

Совместимость форм

Этот оператор применяется к матрице [пакета] совместимой формы. x — это матрица пакета совместимой формы для matmul и solve, если

operator.shape = [B1,...,Bb] + [M, N],  with b >= 0
x.shape =        [B1,...,Bb] + [N, R],  with R >= 0.

Например:

Создайте пакет из [2, 3] линейных операторов размером 4 x 4:

>>> matrix_44 = tf.random.normal(shape=[2, 3, 4, 4])
>>> operator_44 = tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix(matrix_44)

Создайте пакет из [1, 3] линейных операторов размером 5 x 4:

>>> matrix_54 = tf.random.normal(shape=[1, 3, 5, 4])
>>> operator_54 = tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix(matrix_54)

Создайте пакет из [1, 3] линейных операторов размером 5 x 5:

>>> matrix_55 = tf.random.normal(shape=[1, 3, 5, 5])
>>> operator_55 = tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix(matrix_55)

Объедините их, чтобы создать пакет из [2, 3] операторов размером 9 x 9:

>>> operator_99 = LinearOperatorBlockLowerTriangular(
...   [[operator_44], [operator_54, operator_55]])
>>> operator_99.shape
TensorShape([2, 3, 9, 9])

Создайте пакет в форме [2, 1, 9] из векторов и примените к нему оператор.

>>> x = tf.random.normal(shape=[2, 1, 9])
>>> y = operator_99.matvec(x)
>>> y.shape
TensorShape([2, 3, 9])

Создайте блочный список векторов и примените к нему оператор. В результате возвращается блочный список.

>>> x4 = tf.random.normal(shape=[2, 1, 4])
>>> x5 = tf.random.normal(shape=[2, 3, 5])
>>> y_blockwise = operator_99.matvec([x4, x5])
>>> y_blockwise[0].shape
TensorShape([2, 3, 4])
>>> y_blockwise[1].shape
TensorShape([2, 3, 5])

Производительность

Пусть operator — это LinearOperatorBlockLowerTriangular, состоящий из D разбиений на строки и D разбиений на столбцы, так что общее число операторов равно N = D * (D + 1) // 2.

• Сложность operator.matmul равна сумме сложностей matmul отдельных операторов.
• Сложность operator.solve равна сумме сложностей solve операторов на диагонали и сложностей matmul операторов вне диагонали.
• Сложность operator.determinant равна сумме сложностей determinant операторов на диагонали.

Подсказки о свойствах матрицы

Этот LinearOperator инициализируется булевыми флагами вида is_X для X = non_singular, self_adjoint, positive_definite, square. Они имеют следующий смысл:

• Если is_X == True, вызывающие код должен считать, что оператор обладает свойством X. Это обещание, которое должно выполняться, но оно не проверяется во время выполнения. Например, из-за ограниченной точности чисел с плавающей запятой эти обещания могут нарушаться.
• Если is_X == False, вызывающий код должен считать, что оператор не обладает свойством X.
• Если is_X == None (по умолчанию), вызывающий код не должен делать предположений ни в ту, ни в другую сторону.

Методы

add_to_tensor

Просмотреть исходный код

add_to_tensor(
    x, name='add_to_tensor'
)

Прибавляет матрицу, представленную этим оператором, к x. Эквивалентно A + x.

adjoint

Просмотреть исходный код

adjoint(
    name: str = 'adjoint'
) -> 'LinearOperator'

Возвращает сопряженный оператор для текущего LinearOperator.

Для A, представляющего этот LinearOperator, возвращает A*. Обратите внимание: вызовы self.adjoint() и self.H эквивалентны.

assert_non_singular

Просмотреть исходный код

assert_non_singular(
    name='assert_non_singular'
)

Возвращает Op, проверяющий, что оператор невырожденный.

Оператор считается невырожденным, если

ConditionNumber < max{100, range_dimension, domain_dimension} * eps,
eps := np.finfo(self.dtype.as_numpy_dtype).eps

assert_positive_definite

Просмотреть исходный код

assert_positive_definite(
    name='assert_positive_definite'
)

Возвращает Op, проверяющий, что оператор положительно определен.

Здесь положительная определенность означает, что квадратичная форма x^H A x имеет положительную действительную часть для всех ненулевых x. Обратите внимание, что для положительной определенности мы не требуем, чтобы оператор был самосопряженным.

assert_self_adjoint

Просмотреть исходный код

assert_self_adjoint(
    name='assert_self_adjoint'
)

Возвращает Op, проверяющий, что оператор самосопряженный.

Здесь проверяется, что этот оператор точно равен своему эрмитово-сопряженному.

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма пакетных размерностей этого оператора, определяемая во время выполнения.

Если этот оператор действует как матрица пакета A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], возвращается Tensor, содержащий [B1,...,Bb].

cholesky

Просмотреть исходный код

cholesky(
    name: str = 'cholesky'
) -> 'LinearOperator'

Возвращает разложение Холецкого в виде LinearOperator.

Для A, представляющего этот LinearOperator, если A положительно определен и самосопряжен, возвращает L, где A = L L^T, то есть разложение Холецкого.

cond

Просмотреть исходный код

cond(
    name='cond'
)

Возвращает число обусловленности этого линейного оператора.

determinant

Просмотреть исходный код

determinant(
    name='det'
)

Определитель для каждого элемента пакета.

diag_part

Просмотреть исходный код

diag_part(
    name='diag_part'
)

Эффективно получает диагональную часть этого оператора [пакета].

Если форма этого оператора равна [B1,...,Bb, M, N], возвращается Tensor diagonal формы [B1,...,Bb, min(M, N)], где diagonal[b1,...,bb, i] = self.to_dense()[b1,...,bb, i, i].

my_operator = LinearOperatorDiag([1., 2.])

# Efficiently get the diagonal
my_operator.diag_part()
==> [1., 2.]

# Equivalent, but inefficient method
tf.linalg.diag_part(my_operator.to_dense())
==> [1., 2.]

domain_dimension_tensor

Просмотреть исходный код

domain_dimension_tensor(
    name='domain_dimension_tensor'
)

Размерность области определения этого оператора (в смысле векторных пространств).

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как матрица пакета A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], возвращается N.

eigvals

Просмотреть исходный код

eigvals(
    name='eigvals'
)

Возвращает собственные значения этого линейного оператора.

Если оператор помечен как самосопряженный (с помощью is_self_adjoint), вычисление может быть эффективнее.

Примечание: В настоящее время поддерживаются только самосопряженные операторы.

inverse

Просмотреть исходный код

inverse(
    name: str = 'inverse'
) -> 'LinearOperator'

Возвращает обратный оператор для этого LinearOperator.

Для A, представляющего этот LinearOperator, возвращает LinearOperator, представляющий A^-1.

log_abs_determinant

Просмотреть исходный код

log_abs_determinant(
    name='log_abs_det'
)

Логарифм модуля определителя для каждого элемента пакета.

matmul

Просмотреть исходный код

matmul(
    x, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='matmul'
)

Преобразует матрицу x [пакета] умножением слева: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

X = ... # shape [..., N, R], batch matrix, R > 0.

Y = operator.matmul(X)
Y.shape
==> [..., M, R]

Y[..., :, r] = sum_j A[..., :, j] X[j, r]

matvec

Посмотреть исходный код

matvec(
    x, adjoint=False, name='matvec'
)

Преобразует вектор x с пакетными измерениями умножением слева: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)

X = ... # shape [..., N], batch vector

Y = operator.matvec(X)
Y.shape
==> [..., M]

Y[..., :] = sum_j A[..., :, j] X[..., j]

range_dimension_tensor

Посмотреть исходный код

range_dimension_tensor(
    name='range_dimension_tensor'
)

Размерность образа этого оператора (в смысле векторных пространств).

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], возвращает M.

shape_tensor

Посмотреть исходный код

shape_tensor(
    name='shape_tensor'
)

Форма этого LinearOperator, определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], возвращает Tensor, содержащий [B1,...,Bb, M, N], эквивалентный tf.shape(A).

solve

Посмотреть исходный код

solve(
    rhs, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='solve'
)

Решает (точно или приближённо) R систем уравнений с пакетными измерениями: A X = rhs.

Возвращённое значение Tensor будет близко к точному решению, если A хорошо обусловлен. В противном случае степень близости будет различаться. Подробности см. в документации класса.

Для поблочного линейного оператора n + 1 на n + 1:

op = [[A_00 0 ... 0 ... 0], [A_10 A_11 ... 0 ... 0], ... [A_k0 A_k1 ... A_kk ... 0], ... [A_n0 A_n1 ... A_nk ... A_nn]]

найдём x = op.solve(y), заметив, что

y_k = A_k0.matmul(x_0) + A_k1.matmul(x_1) + ... + A_kk.matmul(x_k)

и, следовательно,

x_k = A_kk.solve(y_k - A_k0.matmul(x_0) - ... - A_k(k-1).matmul(x_(k-1)))

где x_k и y_k — блоки с номером k, полученные разложением x и y по соответствующим осям.

Сначала решим x_0 = A_00.solve(y_0). Продолжая индуктивно, найдём x_k, k = 1..n при заданном x_0..x_(k-1).

Сопряжённый случай решается аналогично: начинаем с x_n = A_nn.solve(y_n, adjoint=True) и движемся в обратном направлении.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve R > 0 linear systems for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M, R]

X = operator.solve(RHS)
# X[..., :, r] is the solution to the r'th linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j, r] = RHS[..., :, r]

operator.matmul(X)
==> RHS

solvevec

Посмотреть исходный код

solvevec(
    rhs, adjoint=False, name='solve'
)

Решает отдельное уравнение с наилучшим возможным приближением: A X = rhs.

Возвращённое значение Tensor будет близко к точному решению, если A хорошо обусловлен. В противном случае степень близости будет различаться. Подробности см. в документации класса.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve one linear system for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M]

X = operator.solvevec(RHS)
# X is the solution to the linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j] = RHS[..., :]

operator.matvec(X)
==> RHS

tensor_rank_tensor

Посмотреть исходный код

tensor_rank_tensor(
    name='tensor_rank_tensor'
)

Ранг (в смысле тензоров) матрицы, соответствующей этому оператору.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], возвращает b + 2.

to_dense

Посмотреть исходный код

to_dense(
    name='to_dense'
)

Возвращает плотную матрицу (с пакетными измерениями), представляющую этот оператор.

trace

Посмотреть исходный код

trace(
    name='trace'
)

След линейного оператора, равный сумме self.diag_part().

Если оператор является квадратным, это также сумма его собственных значений.

__getitem__

Посмотреть исходный код

__getitem__(
    slices
)

__matmul__

Посмотреть исходный код

__matmul__(
    other
)