tf.linalg.LinearOperatorBlockLowerTriangular

Объединяет LinearOperators в блочно-нижнетрёхугольную матрицу.

Наследуется от: LinearOperator, Module

tf.linalg.LinearOperatorBlockLowerTriangular(
    operators,
    is_non_singular=None,
    is_self_adjoint=None,
    is_positive_definite=None,
    is_square=None,
    name='LinearOperatorBlockLowerTriangular'
)

Этот оператор инициализируется вложенным списком линейных операторов, которые объединяются в новый LinearOperator, чья внутренняя матричная структура является квадратной и имеет каждый оператор на или ниже главной диагонали, и нули в остальных местах. Каждый элемент внешнего списка представляет собой список LinearOperators, соответствующих разбиению на строки блочной структуры. Количество LinearOperator в строчном разбиении i должно быть равно i.

Например, блочный 3 x 3 LinearOperatorBlockLowerTriangular инициализируется списком [[op_00], [op_10, op_11], [op_20, op_21, op_22]], где op_ij, i < 3, j <= i, являются экземплярами LinearOperator. LinearOperatorBlockLowerTriangular ведет себя как следующая блочная матрица, где 0 представляет собой матрицы нулей соответствующего размера [батчи]:

[[op_00,     0,     0],
 [op_10, op_11,     0],
 [op_20, op_21, op_22]]

Каждый op_jj на диагонали должен представлять квадратную матрицу и, следовательно, иметь форму batch_shape_j + [M_j, M_j]. LinearOperator в строке j блочной структуры должны иметь range_dimension, равное тому из op_jj, и LinearOperators в столбце j должны иметь domain_dimension, равное тому из op_jj.

Если каждый op_jj на диагонали имеет форму batch_shape_j + [M_j, M_j], то объединённый оператор имеет форму broadcast_batch_shape + [sum M_j, sum M_j], где broadcast_batch_shape является взаимным распространением batch_shape_j, j = 0, 1, ..., J, предполагая, что промежуточные формы батчей расширяются. Даже если объединённая форма определена корректно, методы объединённого оператора могут не сработать из-за отсутствия возможности распространения в методах определяющих операторов.

Например, чтобы создать 4x4 линейный оператор, объединённый из трёх 2x2 операторов:

>>> operator_0 = tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix([[1., 2.], [3., 4.]])
>>> operator_1 = tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix([[1., 0.], [0., 1.]])
>>> operator_2 = tf.linalg.LinearOperatorLowerTriangular([[5., 6.], [7., 8]])
>>> operator = LinearOperatorBlockLowerTriangular(
...   [[operator_0], [operator_1, operator_2]])

operator.to_dense()
<tf.Tensor: shape=(4, 4), dtype=float32, numpy=
array([[1., 2., 0., 0.],
       [3., 4., 0., 0.],
       [1., 0., 5., 0.],
       [0., 1., 7., 8.]], dtype=float32)>

operator.shape
TensorShape([4, 4])

operator.log_abs_determinant()
<tf.Tensor: shape=(), dtype=float32, numpy=4.3820267>

x0 = [[1., 6.], [-3., 4.]]
x1 = [[0., 2.], [4., 0.]]
x = tf.concat([x0, x1], 0)  # Shape [2, 4] Tensor
operator.matmul(x)
<tf.Tensor: shape=(4, 2), dtype=float32, numpy=
array([[-5., 14.],
       [-9., 34.],
       [ 1., 16.],
       [29., 18.]], dtype=float32)>

Вышеупомянутый matmul эквивалентен:

>>> tf.concat([operator_0.matmul(x0),
...   operator_1.matmul(x0) + operator_2.matmul(x1)], axis=0)
<tf.Tensor: shape=(4, 2), dtype=float32, numpy=
array([[-5., 14.],
       [-9., 34.],
       [ 1., 16.],
       [29., 18.]], dtype=float32)>

Совместимость форм

Этот оператор действует на [батчевую] матрицу с совместимой формой. x — это батчевая матрица с совместимой формой для matmul и solve, если

operator.shape = [B1,...,Bb] + [M, N],  with b >= 0
x.shape =        [B1,...,Bb] + [N, R],  with R >= 0.

Например:

Создать [2, 3] пакет 4x4 линейных операторов:

>>> matrix_44 = tf.random.normal(shape=[2, 3, 4, 4])
>>> operator_44 = tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix(matrix_44)

Создать [1, 3] пакет 5x4 линейных операторов:

>>> matrix_54 = tf.random.normal(shape=[1, 3, 5, 4])
>>> operator_54 = tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix(matrix_54)

Создать [1, 3] пакет 5x5 линейных операторов:

>>> matrix_55 = tf.random.normal(shape=[1, 3, 5, 5])
>>> operator_55 = tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix(matrix_55)

Объединить, чтобы создать [2, 3] пакет 9x9 операторов:

>>> operator_99 = LinearOperatorBlockLowerTriangular(
...   [[operator_44], [operator_54, operator_55]])
>>> operator_99.shape
TensorShape([2, 3, 9, 9])

Создать батчевый вектор формы [2, 1, 9] и применить к нему оператор.

>>> x = tf.random.normal(shape=[2, 1, 9])
>>> y = operator_99.matvec(x)
>>> y.shape
TensorShape([2, 3, 9])

Создать блочный список векторов и применить оператор к нему. Возвращается блочный список.

>>> x4 = tf.random.normal(shape=[2, 1, 4])
>>> x5 = tf.random.normal(shape=[2, 3, 5])
>>> y_blockwise = operator_99.matvec([x4, x5])
>>> y_blockwise[0].shape
TensorShape([2, 3, 4])
>>> y_blockwise[1].shape
TensorShape([2, 3, 5])

Производительность

Предположим, что operator — это LinearOperatorBlockLowerTriangular, состоящий из D строчных разбиений и D столбцовых разбиений, так что общее количество операторов составляет N = D * (D + 1) // 2.

• operator.matmul имеет сложность, равную сумме сложностей отдельных операторов.
• operator.solve имеет сложность, равную сумме сложностей операторов на диагонали и сложностей операторов вне диагонали.
• operator.determinant имеет сложность, равную сумме сложностей операторов на диагонали.

Подсказки свойств матрицы

Этот LinearOperator инициализируется булевыми флагами формы is_X для X = non_singular, self_adjoint, positive_definite, square. Они имеют следующее значение:

• Если is_X == True, вызывающие стороны должны ожидать, что оператор будет обладать свойством X. Это обещание, которое должно быть выполнено, но это не утверждение во время выполнения. Например, конечная точность с плавающей запятой может привести к нарушению этих обещаний.
• Если is_X == False, вызывающие стороны должны ожидать, что оператор не будет обладать свойством X.
• Если is_X == None (по умолчанию), вызывающие стороны не должны иметь ожиданий ни в ту, ни в другую сторону.

Методы

add_to_tensor

Посмотреть исходный код

add_to_tensor(
    x, name='add_to_tensor'
)

Добавить матрицу, представленную этим оператором, к x. Эквивалентно A + x.

adjoint

Посмотреть исходный код

adjoint(
    name: str = 'adjoint'
) -> 'LinearOperator'

Возвращает сопряжённую матрицу текущего LinearOperator.

Учитывая A, представляющий этот LinearOperator, вернуть A*. Обратите внимание, что вызовы self.adjoint() и self.H эквивалентны.

assert_non_singular

Посмотреть исходный код

assert_non_singular(
    name='assert_non_singular'
)

Возвращает утверждение, что этот оператор не является вырожденным.

Этот оператор считается невырожденным, если

ConditionNumber < max{100, range_dimension, domain_dimension} * eps,
eps := np.finfo(self.dtype.as_numpy_dtype).eps

assert_positive_definite

Посмотреть исходный код

assert_positive_definite(
    name='assert_positive_definite'
)

Возвращает утверждение, что этот оператор положительно определён.

Здесь положительно определённый означает, что квадратичная форма x^H A x имеет положительную действительную часть для всех ненулевых x. Обратите внимание, что мы не требуем, чтобы оператор был самосопряжённым, чтобы быть положительно определённым.

assert_self_adjoint

Просмотреть исходный код

assert_self_adjoint(
    name='assert_self_adjoint'
)

Возвращает утверждение, что этот оператор является самосопряжённым.

Здесь проверяется, что этот оператор точно равен своему эрмитовому транспонированию.

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма размерностей пакета этого оператора, определяемая во время выполнения.

Если этот оператор действует как матрица пакета A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает объект Tensor, содержащий [B1,...,Bb].

cholesky

Просмотреть исходный код

cholesky(
    name: str = 'cholesky'
) -> 'LinearOperator'

Возвращает фактор Холецкого как объект LinearOperator.

Учитывая A, представляющий этот LinearOperator, если A является положительно определённой самосопряжённой матрицей, возвращает L, где A = L L^T, т.е. разложение Холецкого.

cond

Просмотреть исходный код

cond(
    name='cond'
)

Возвращает число обусловленности этого линейного оператора.

determinant

Просмотреть исходный код

determinant(
    name='det'
)

Определитель для каждого элемента набора.

diag_part

Просмотреть исходный код

diag_part(
    name='diag_part'
)

Эффективно получить [поэлементную] диагональную часть этого оператора.

Если у этого оператора форма [B1,...,Bb, M, N], то он возвращает Tensor diagonal, формы [B1,...,Bb, min(M, N)], где diagonal[b1,...,bb, i] = self.to_dense()[b1,...,bb, i, i].

my_operator = LinearOperatorDiag([1., 2.])

# Efficiently get the diagonal
my_operator.diag_part()
==> [1., 2.]

# Equivalent, but inefficient method
tf.linalg.diag_part(my_operator.to_dense())
==> [1., 2.]

domain_dimension_tensor

Просмотреть исходный код

domain_dimension_tensor(
    name='domain_dimension_tensor'
)

Размерность (в смысле векторных пространств) области действия этого оператора.

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как матрица набора A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает N.

eigvals

Просмотреть исходный код

eigvals(
    name='eigvals'
)

Возвращает собственные значения этого линейного оператора.

Если оператор помечен как самосопряженный (через is_self_adjoint), это вычисление может быть более эффективным.

Примечание: В настоящее время поддерживаются только самосопряженные операторы.

inverse

Просмотреть исходный код

inverse(
    name: str = 'inverse'
) -> 'LinearOperator'

Возвращает обратную матрицу для этого LinearOperator.

Учитывая A, представляющий этот LinearOperator, верните LinearOperator, представляющий A^-1.

log_abs_determinant

Просмотреть исходный код

log_abs_determinant(
    name='log_abs_det'
)

Логарифм абсолютного значения определителя для каждого элемента набора.

matmul

Просмотреть исходный код

matmul(
    x, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='matmul'
)

Преобразовать [поэлементную] матрицу x с левым умножением: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

X = ... # shape [..., N, R], batch matrix, R > 0.

Y = operator.matmul(X)
Y.shape
==> [..., M, R]

Y[..., :, r] = sum_j A[..., :, j] X[j, r]

matvec

Просмотреть исходный код

matvec(
    x, adjoint=False, name='matvec'
)

Преобразовать [поэлементный] вектор x с левым умножением: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)

X = ... # shape [..., N], batch vector

Y = operator.matvec(X)
Y.shape
==> [..., M]

Y[..., :] = sum_j A[..., :, j] X[..., j]

range_dimension_tensor

Просмотреть исходный код

range_dimension_tensor(
    name='range_dimension_tensor'
)

Размерность (в смысле векторных пространств) области значений этого оператора.

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как матрица набора A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то это возвращает M.

shape_tensor

Просмотр исходного кода

shape_tensor(
    name='shape_tensor'
)

Форма этого LinearOperator, определённая во время выполнения.

Если этот оператор действует как матрица пакета A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то он возвращает Tensor, содержащий [B1,...,Bb, M, N], эквивалентное tf.shape(A).

solve

Просмотр исходного кода

solve(
    rhs, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='solve'
)

Решить (точно или приближённо) R (пакет) систем уравнений: A X = rhs.

Возвращённое значение Tensor будет близко к точному решению, если A хорошо обусловлено. В противном случае близость будет различаться. Подробности см. в строке документации класса.

Учитывая блочный n + 1-на-n + 1 линейный оператор:

op = [[A_00 0 ... 0 ... 0], [A_10 A_11 ... 0 ... 0], ... [A_k0 A_k1 ... A_kk ... 0], ... [A_n0 A_n1 ... A_nk ... A_nn]]

мы находим x = op.solve(y), наблюдая, что

y_k = A_k0.matmul(x_0) + A_k1.matmul(x_1) + ... + A_kk.matmul(x_k)

и поэтому

x_k = A_kk.solve(y_k - A_k0.matmul(x_0) - ... - A_k(k-1).matmul(x_(k-1)))

где x_k и y_k являются k блоками, полученными путём разложения x и y вдоль соответствующих осей.

Сначала мы решаем x_0 = A_00.solve(y_0). Продолжая по индукции, мы решаем для x_k, k = 1..n, заданных x_0..x_(k-1).

Аналогично решается случай с сопряжённой матрицей, начиная с x_n = A_nn.solve(y_n, adjoint=True) и двигаясь назад.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve R > 0 linear systems for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M, R]

X = operator.solve(RHS)
# X[..., :, r] is the solution to the r'th linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j, r] = RHS[..., :, r]

operator.matmul(X)
==> RHS

solvevec

Просмотр исходного кода

solvevec(
    rhs, adjoint=False, name='solve'
)

Решить одиночное уравнение с наилучшими усилиями: A X = rhs.

Возвращённое значение Tensor будет близко к точному решению, если A хорошо обусловлено. В противном случае близость будет различаться. Подробности см. в строке документации класса.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve one linear system for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M]

X = operator.solvevec(RHS)
# X is the solution to the linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j] = RHS[..., :]

operator.matvec(X)
==> RHS

tensor_rank_tensor

Просмотр исходного кода

tensor_rank_tensor(
    name='tensor_rank_tensor'
)

Ранг (в смысле тензоров) матрицы, соответствующей этому оператору.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то он возвращает b + 2.

to_dense

Просмотр исходного кода

to_dense(
    name='to_dense'
)

Возвращает плотную (пакетную) матрицу, представляющую этот оператор.

trace

Просмотр исходного кода

trace(
    name='trace'
)

След линейного оператора, равный сумме self.diag_part().

Если оператор квадратный, это также сумма собственных значений.

__getitem__

Просмотр исходного кода

__getitem__(
    slices
)

__matmul__

Просмотр исходного кода

__matmul__(
    other
)