tf.linalg.LinearOperatorCirculant

LinearOperator, действующий как циркулянтная матрица.

Наследует от: LinearOperator, Module

tf.linalg.LinearOperatorCirculant(
    spectrum: tf.Tensor,
    input_output_dtype=tf.dtypes.complex64,
    is_non_singular: bool = None,
    is_self_adjoint: bool = None,
    is_positive_definite: bool = None,
    is_square: bool = True,
    name='LinearOperatorCirculant'
)

Этот оператор действует как циркулянтная матрица A с формой [B1,...,Bb, N, N] для некоторого b >= 0. Первые b индексы задают элемент пакета. Для каждого индекса пакета (i1,...,ib), A[i1,...,ib, : :] является матрицей N x N. Эта матрица A не материализуется, но эта форма важна для широковещательной передачи.

Описание в терминах циркулянтных матриц

Циркулянтная матрица означает, что элементы A порождаются одним вектором — ядром свёртки h: A_{mn} := h_{m-n mod N}. При h = [w, x, y, z],

A = |w z y x|
    |x w z y|
    |y x w z|
    |z y x w|

Это означает, что результат умножения матрицы v = Au имеет столбец Lth, полученный циклической свёрткой h с Lth столбцом u.

Описание в терминах частотного спектра

Существует эквивалентное описание через спектр [пакета] H и преобразования Фурье. Здесь рассмотрим A.shape = [N, N] и будем игнорировать размерности пакета. Определим дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и его обратное преобразование следующим образом:

DFT[ h[n] ] = H[k] := sum_{n = 0}^{N - 1} h_n e^{-i 2pi k n / N}
IDFT[ H[k] ] = h[n] = N^{-1} sum_{k = 0}^{N - 1} H_k e^{i 2pi k n / N}

Из этих определений следует, что

H[0] = sum_{n = 0}^{N - 1} h_n
H[1] = "the first positive frequency"
H[N - 1] = "the first negative frequency"

В общих чертах, при поэлементном умножении * умножение матрицы эквивалентно действию фурье-множителя: A u = IDFT[ H * DFT[u] ]. Точнее, для матрицы [N, R] u пусть DFT[u] будет матрицей [N, R], у которой rth столбец равен ДПФ rth столбца u. Аналогично определим IDFT. Умножение матрицы можно выразить по столбцам:

(A u)_r = IDFT[ H * (DFT[u])_r ]

Свойства оператора, выводимые из спектра.

Пусть U — kth единичный вектор евклидова базиса, а U = IDFT[u]. Приведённые выше формулы показывают, чтоA U = H_k * U. Следовательно, элементы H являются собственными значениями этого оператора. Поэтому

• Этот оператор является положительно определённым тогда и только тогда, когда Real{H} > 0.

Общее свойство преобразований Фурье — соответствие между эрмитовыми функциями и вещественными преобразованиями.

Предположим, что H.shape = [B1,...,Bb, N]. Будем говорить, что H является эрмитовым спектром, если при %, где подразумевается деление по модулю,

H[..., n % N] = ComplexConjugate[ H[..., (-n) % N] ]

• Этому оператору соответствует вещественная матрица тогда и только тогда, когда H является эрмитовым.
• Этот оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда H вещественно.

См., например, «Discrete-Time Signal Processing», Oppenheim и Schafer.

Пример самосопряжённого положительно определённого оператора

# spectrum is real ==> operator is self-adjoint
# spectrum is positive ==> operator is positive definite
spectrum = [6., 4, 2]

operator = LinearOperatorCirculant(spectrum)

# IFFT[spectrum]
operator.convolution_kernel()
==> [4 + 0j, 1 + 0.58j, 1 - 0.58j]

operator.to_dense()
==> [[4 + 0.0j, 1 - 0.6j, 1 + 0.6j],
     [1 + 0.6j, 4 + 0.0j, 1 - 0.6j],
     [1 - 0.6j, 1 + 0.6j, 4 + 0.0j]]

Пример определения через вещественное ядро свёртки

# convolution_kernel is real ==> spectrum is Hermitian.
convolution_kernel = [1., 2., 1.]]
spectrum = tf.signal.fft(tf.cast(convolution_kernel, tf.complex64))

# spectrum is Hermitian ==> operator is real.
# spectrum is shape [3] ==> operator is shape [3, 3]
# We force the input/output type to be real, which allows this to operate
# like a real matrix.
operator = LinearOperatorCirculant(spectrum, input_output_dtype=tf.float32)

operator.to_dense()
==> [[ 1, 1, 2],
     [ 2, 1, 1],
     [ 1, 2, 1]]

Пример эрмитова спектра

# spectrum is shape [3] ==> operator is shape [3, 3]
# spectrum is Hermitian ==> operator is real.
spectrum = [1, 1j, -1j]

operator = LinearOperatorCirculant(spectrum)

operator.to_dense()
==> [[ 0.33 + 0j,  0.91 + 0j, -0.24 + 0j],
     [-0.24 + 0j,  0.33 + 0j,  0.91 + 0j],
     [ 0.91 + 0j, -0.24 + 0j,  0.33 + 0j]

Пример принудительного задания вещественного dtype для эрмитова спектра

# spectrum is shape [4] ==> operator is shape [4, 4]
# spectrum is real ==> operator is self-adjoint
# spectrum is Hermitian ==> operator is real
# spectrum has positive real part ==> operator is positive-definite.
spectrum = [6., 4, 2, 4]

# Force the input dtype to be float32.
# Cast the output to float32.  This is fine because the operator will be
# real due to Hermitian spectrum.
operator = LinearOperatorCirculant(spectrum, input_output_dtype=tf.float32)

operator.shape
==> [4, 4]

operator.to_dense()
==> [[4, 1, 0, 1],
     [1, 4, 1, 0],
     [0, 1, 4, 1],
     [1, 0, 1, 4]]

# convolution_kernel = tf.signal.ifft(spectrum)
operator.convolution_kernel()
==> [4, 1, 0, 1]

Производительность

Предположим, что operator — LinearOperatorCirculant формы [N, N], а x.shape = [N, R]. Тогда

• operator.matmul(x) — O(R*N*Log[N])
• operator.solve(x) — O(R*N*Log[N])
• operator.determinant() включает reduce_prod размера N.

Если же operator и x имеют форму [B1,...,Bb, N, N] и [B1,...,Bb, N, R], сложность каждой операции возрастает на B1*...*Bb.

Подсказки о свойствах матрицы

Этот LinearOperator инициализируется логическими флагами вида is_X для X = non_singular, self_adjoint, positive_definite, square. Они имеют следующий смысл:

• Если is_X == True, вызывающий код может рассчитывать, что оператор обладает свойством X. Это обещание, которое должно выполняться, но оно не является проверкой во время выполнения. Например, конечная точность чисел с плавающей запятой может привести к нарушению этих обещаний.
• Если is_X == False, вызывающий код может рассчитывать, что оператор не обладает свойством X.
• Если is_X == None (значение по умолчанию), у вызывающего кода не должно быть ожиданий ни в ту, ни в другую сторону.

A = |w z y x|
    |x w z y|
    |y x w z|
    |z y x w|

A = |W Z Y X|
    |X W Z Y|
    |Y X W Z|
    |Z Y X W|

Методы

add_to_tensor

Просмотреть исходный код

add_to_tensor(
    x, name='add_to_tensor'
)

Прибавляет матрицу, представленную этим оператором, к x. Эквивалентно A + x.

adjoint

Просмотреть исходный код

adjoint(
    name: str = 'adjoint'
) -> 'LinearOperator'

Возвращает сопряжённый оператор для текущего LinearOperator.

Для A, представляющего этот LinearOperator, возвращает A*. Обратите внимание: вызовы self.adjoint() и self.H эквивалентны.

assert_hermitian_spectrum

Просмотреть исходный код

assert_hermitian_spectrum(
    name='assert_hermitian_spectrum'
)

Возвращает Op, проверяющий, что спектр этого оператора является эрмитовым.

Этому оператору соответствует матрица с вещественными значениями тогда и только тогда, когда его спектр является эрмитовым.

assert_non_singular

Просмотреть исходный код

assert_non_singular(
    name='assert_non_singular'
)

Возвращает Op, проверяющий, что этот оператор невырожден.

Оператор считается невырожденным, если

ConditionNumber < max{100, range_dimension, domain_dimension} * eps,
eps := np.finfo(self.dtype.as_numpy_dtype).eps

assert_positive_definite

Просмотреть исходный код

assert_positive_definite(
    name='assert_positive_definite'
)

Возвращает Op, проверяющий, что этот оператор положительно определён.

Здесь положительная определённость означает, что квадратичная форма x^H A x имеет положительную вещественную часть для всех ненулевых x. Обратите внимание: для положительной определённости мы не требуем, чтобы оператор был самосопряжённым.

assert_self_adjoint

Просмотреть исходный код

assert_self_adjoint(
    name='assert_self_adjoint'
)

Возвращает Op, проверяющий, что этот оператор является самосопряжённым.

Здесь проверяется, что этот оператор точно равен своему эрмитово-сопряжённому.

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма размерностей пакета этого оператора, определяемая во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то возвращает Tensor, содержащий [B1,...,Bb].

block_shape_tensor

Просмотреть исходный код

block_shape_tensor()

Форма блочных размерностей self.spectrum.

cholesky

Просмотреть исходный код

cholesky(
    name: str = 'cholesky'
) -> 'LinearOperator'

Возвращает множитель Холецкого в виде LinearOperator.

Для A, представляющего этот LinearOperator, если A является положительно определённым самосопряжённым оператором, возвращает L, где A = L L^T, то есть разложение Холецкого.

cond

Просмотреть исходный код

cond(
    name='cond'
)

Возвращает число обусловленности этого линейного оператора.

convolution_kernel

Просмотреть исходный код

convolution_kernel(
    name='convolution_kernel'
)

Ядро свёртки, соответствующее self.spectrum.

ДПФ ядра размерности D представляет частотный спектр этого оператора.

determinant

Просмотреть исходный код

determinant(
    name='det'
)

Определитель для каждого элемента пакета.

diag_part

Просмотреть исходный код

diag_part(
    name='diag_part'
)

Эффективно получает диагональную часть [пакета] этого оператора.

Если форма этого оператора [B1,...,Bb, M, N], возвращает Tensor diagonal формы [B1,...,Bb, min(M, N)], где diagonal[b1,...,bb, i] = self.to_dense()[b1,...,bb, i, i].

my_operator = LinearOperatorDiag([1., 2.])

# Efficiently get the diagonal
my_operator.diag_part()
==> [1., 2.]

# Equivalent, but inefficient method
tf.linalg.diag_part(my_operator.to_dense())
==> [1., 2.]

domain_dimension_tensor

Просмотреть исходный код

domain_dimension_tensor(
    name='domain_dimension_tensor'
)

Размерность области определения этого оператора (в смысле векторных пространств).

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то возвращает N.

eigvals

Просмотреть исходный код

eigvals(
    name='eigvals'
)

Возвращает собственные значения этого линейного оператора.

Если оператор помечен как самосопряжённый (с помощью is_self_adjoint), вычисление может быть более эффективным.

Примечание: В настоящее время поддерживаются только самосопряжённые операторы.

inverse

Просмотреть исходный код

inverse(
    name: str = 'inverse'
) -> 'LinearOperator'

Возвращает обратный оператор для этого LinearOperator.

Для A, представляющего этот LinearOperator, возвращает LinearOperator, представляющий A^-1.

log_abs_determinant

Посмотреть исходный код

log_abs_determinant(
    name='log_abs_det'
)

Логарифм абсолютного значения определителя для каждого элемента пакета.

matmul

Посмотреть исходный код

matmul(
    x, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='matmul'
)

Преобразует [пакет] матрицу x левым умножением: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

X = ... # shape [..., N, R], batch matrix, R > 0.

Y = operator.matmul(X)
Y.shape
==> [..., M, R]

Y[..., :, r] = sum_j A[..., :, j] X[j, r]

matvec

Посмотреть исходный код

matvec(
    x, adjoint=False, name='matvec'
)

Преобразует [пакет] вектор x левым умножением: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)

X = ... # shape [..., N], batch vector

Y = operator.matvec(X)
Y.shape
==> [..., M]

Y[..., :] = sum_j A[..., :, j] X[..., j]

range_dimension_tensor

Посмотреть исходный код

range_dimension_tensor(
    name='range_dimension_tensor'
)

Размерность образа этого оператора (в смысле векторных пространств).

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то возвращается M.

shape_tensor

Посмотреть исходный код

shape_tensor(
    name='shape_tensor'
)

Форма этого LinearOperator, определяемая во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то возвращается Tensor, содержащий [B1,...,Bb, M, N], что эквивалентно tf.shape(A).

solve

Посмотреть исходный код

solve(
    rhs, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='solve'
)

Решает (точно или приближённо) R (пакет) систем уравнений: A X = rhs.

Возвращённое значение Tensor будет близко к точному решению, если A хорошо обусловлен. В противном случае степень близости будет различаться. Подробности см. в документации класса.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve R > 0 linear systems for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M, R]

X = operator.solve(RHS)
# X[..., :, r] is the solution to the r'th linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j, r] = RHS[..., :, r]

operator.matmul(X)
==> RHS

solvevec

Посмотреть исходный код

solvevec(
    rhs, adjoint=False, name='solve'
)

Решает одно уравнение, используя наилучшее приближение: A X = rhs.

Возвращённое значение Tensor будет близко к точному решению, если A хорошо обусловлен. В противном случае степень близости будет различаться. Подробности см. в документации класса.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve one linear system for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M]

X = operator.solvevec(RHS)
# X is the solution to the linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j] = RHS[..., :]

operator.matvec(X)
==> RHS

tensor_rank_tensor

Посмотреть исходный код

tensor_rank_tensor(
    name='tensor_rank_tensor'
)

Ранг (в смысле тензоров) матрицы, соответствующей этому оператору.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], то возвращается b + 2.

to_dense

Посмотреть исходный код

to_dense(
    name='to_dense'
)

Возвращает плотную (пакетную) матрицу, представляющую этот оператор.

trace

Посмотреть исходный код

trace(
    name='trace'
)

След линейного оператора, равный сумме self.diag_part().

Если оператор квадратный, это также сумма собственных значений.

__getitem__

Посмотреть исходный код

__getitem__(
    slices
)

__matmul__

Посмотреть исходный код

__matmul__(
    other
)