tf.linalg.LinearOperatorCirculant2D

LinearOperator, действующий как блочно-циркулянтная матрица.

Наследует от: LinearOperator, Module

tf.linalg.LinearOperatorCirculant2D(
    spectrum: tf.Tensor,
    input_output_dtype=tf.dtypes.complex64,
    is_non_singular: bool = None,
    is_self_adjoint: bool = None,
    is_positive_definite: bool = None,
    is_square: bool = True,
    name='LinearOperatorCirculant2D'
)

Этот оператор действует как блочно-циркулянтная матрица A формы [B1,...,Bb, N, N] для некоторого b >= 0. Первые b индексов индексируют элемент пакета. Для каждого индекса пакета (i1,...,ib), A[i1,...,ib, : :] является матрицей N x N. Эта матрица A не материализуется, однако эта форма имеет значение для целей широковещательной передачи.

Описание в терминах блочно-циркулянтных матриц

Если A является блочно-циркулянтной матрицей с размерами блоков N0, N1 (N0 * N1 = N): A имеет блочно-циркулянтную структуру, составленную из N0 x N0 блоков, каждый из которых является циркулянтной матрицей N1 x N1.

Например, при W, X, Y, Z, каждое из которых является циркулянтной матрицей,

A = |W Z Y X|
    |X W Z Y|
    |Y X W Z|
    |Z Y X W|

Обратите внимание, что A в общем случае сама не будет циркулянтной.

Описание в терминах частотного спектра

Существует эквивалентное описание через спектр [пакета] H и преобразования Фурье. Здесь мы рассматриваем A.shape = [N, N] и не учитываем размерности пакета.

Если H.shape = [N0, N1], (N0 * N1 = N): в общих чертах умножение матриц эквивалентно действию фурье-множителя: A u = IDFT2[ H DFT2[u] ]. Точнее, для заданной матрицы [N, R] u пусть DFT2[u] будет [N0, N1, R] Tensor, полученной изменением формы u на [N0, N1, R] и применением двумерного ДПФ по первым двум размерностям. Пусть IDFT2 будет обратным к DFT2. Умножение матриц можно выразить по столбцам:

(A u)_r = IDFT2[ H * (DFT2[u])_r ]

Свойства оператора, выведенные из спектра.

• Этот оператор является положительно определённым тогда и только тогда, когда Real{H} > 0.

Общее свойство преобразований Фурье — соответствие между эрмитовыми функциями и вещественными преобразованиями.

Предположим, что H.shape = [B1,...,Bb, N0, N1]; будем говорить, что H имеет эрмитов спектр, если при %, обозначающем деление по модулю,

H[..., n0 % N0, n1 % N1] = ComplexConjugate[ H[..., (-n0) % N0, (-n1) % N1 ].

• Этот оператор соответствует вещественной матрице тогда и только тогда, когда H является эрмитовым.
• Этот оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда H вещественно.

См., например, «Discrete-Time Signal Processing» Оппенгейма и Шафера.

Пример самосопряжённого положительно определённого оператора

# spectrum is real ==> operator is self-adjoint
# spectrum is positive ==> operator is positive definite
spectrum = [[1., 2., 3.],
            [4., 5., 6.],
            [7., 8., 9.]]

operator = LinearOperatorCirculant2D(spectrum)

# IFFT[spectrum]
operator.convolution_kernel()
==> [[5.0+0.0j, -0.5-.3j, -0.5+.3j],
     [-1.5-.9j,        0,        0],
     [-1.5+.9j,        0,        0]]

operator.to_dense()
==> Complex self adjoint 9 x 9 matrix.

Пример определения через вещественное ядро свёртки,

# convolution_kernel is real ==> spectrum is Hermitian.
convolution_kernel = [[1., 2., 1.], [5., -1., 1.]]
spectrum = tf.signal.fft2d(tf.cast(convolution_kernel, tf.complex64))

# spectrum is shape [2, 3] ==> operator is shape [6, 6]
# spectrum is Hermitian ==> operator is real.
operator = LinearOperatorCirculant2D(spectrum, input_output_dtype=tf.float32)

Производительность

Предположим, что operator — это LinearOperatorCirculant формы [N, N], а x.shape = [N, R]. Тогда

• operator.matmul(x) имеет сложность O(R*N*Log[N])
• operator.solve(x) имеет сложность O(R*N*Log[N])
• operator.determinant() требует выполнения reduce_prod размера N.

Если же operator и x имеют форму [B1,...,Bb, N, N] и [B1,...,Bb, N, R], сложность каждой операции возрастает на B1*...*Bb.

Подсказки о свойствах матрицы

Этот LinearOperator инициализируется булевыми флагами вида is_X для X = non_singular, self_adjoint, positive_definite, square. Они означают следующее:

• Если is_X == True, вызывающие код должен исходить из того, что оператор обладает свойством X. Это обещание, которое должно выполняться, но оно не является проверкой во время выполнения. Например, конечная точность чисел с плавающей запятой может привести к нарушению этих обещаний.
• Если is_X == False, вызывающий код должен исходить из того, что оператор не обладает свойством X.
• Если is_X == None (значение по умолчанию), вызывающий код не должен рассчитывать ни на один из вариантов.

A = |w z y x|
    |x w z y|
    |y x w z|
    |z y x w|

A = |W Z Y X|
    |X W Z Y|
    |Y X W Z|
    |Z Y X W|

Методы

add_to_tensor

Просмотреть исходный код

add_to_tensor(
    x, name='add_to_tensor'
)

Прибавляет матрицу, представленную этим оператором, к x. Эквивалентно A + x.

adjoint

Просмотреть исходный код

adjoint(
    name: str = 'adjoint'
) -> 'LinearOperator'

Возвращает сопряжённый оператор текущего LinearOperator.

Для заданного A, представляющего этот LinearOperator, возвращает A*. Обратите внимание, что вызовы self.adjoint() и self.H эквивалентны.

assert_hermitian_spectrum

Просмотреть исходный код

assert_hermitian_spectrum(
    name='assert_hermitian_spectrum'
)

Возвращает Op, проверяющий, что спектр этого оператора является эрмитовым.

Этот оператор соответствует матрице с вещественными значениями тогда и только тогда, когда его спектр является эрмитовым.

assert_non_singular

Просмотреть исходный код

assert_non_singular(
    name='assert_non_singular'
)

Возвращает Op, проверяющий, что этот оператор невырожденный.

Оператор считается невырожденным, если

ConditionNumber < max{100, range_dimension, domain_dimension} * eps,
eps := np.finfo(self.dtype.as_numpy_dtype).eps

assert_positive_definite

Просмотреть исходный код

assert_positive_definite(
    name='assert_positive_definite'
)

Возвращает Op, проверяющий, что этот оператор является положительно определённым.

Здесь положительная определённость означает, что квадратичная форма x^H A x имеет положительную вещественную часть для всех ненулевых x. Обратите внимание, что для положительной определённости оператору не обязательно быть самосопряжённым.

assert_self_adjoint

Просмотреть исходный код

assert_self_adjoint(
    name='assert_self_adjoint'
)

Возвращает Op, проверяющий, что этот оператор является самосопряжённым.

Здесь проверяется, что этот оператор в точности равен своему эрмитово-сопряжённому.

batch_shape_tensor

Просмотреть исходный код

batch_shape_tensor(
    name='batch_shape_tensor'
)

Форма размерностей пакета этого оператора, определяемая во время выполнения.

Если этот оператор действует как матрица пакета A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], возвращается Tensor, содержащий [B1,...,Bb].

block_shape_tensor

Просмотреть исходный код

block_shape_tensor()

Форма размерностей блоков self.spectrum.

cholesky

Просмотреть исходный код

cholesky(
    name: str = 'cholesky'
) -> 'LinearOperator'

Возвращает множитель Холецкого в виде LinearOperator.

Для заданного A, представляющего этот LinearOperator, если A является положительно определённым самосопряжённым оператором, возвращается L, где A = L L^T, то есть разложение Холецкого.

cond

Просмотреть исходный код

cond(
    name='cond'
)

Возвращает число обусловленности этого линейного оператора.

convolution_kernel

Просмотреть исходный код

convolution_kernel(
    name='convolution_kernel'
)

Ядро свёртки, соответствующее self.spectrum.

D-мерное ДПФ этого ядра является спектром данного оператора в частотной области.

determinant

Просмотреть исходный код

determinant(
    name='det'
)

Определитель для каждого элемента пакета.

diag_part

Просмотреть исходный код

diag_part(
    name='diag_part'
)

Эффективно извлекает диагональную часть [пакета] этого оператора.

Если форма этого оператора — [B1,...,Bb, M, N], возвращается Tensor diagonal формы [B1,...,Bb, min(M, N)], где diagonal[b1,...,bb, i] = self.to_dense()[b1,...,bb, i, i].

my_operator = LinearOperatorDiag([1., 2.])

# Efficiently get the diagonal
my_operator.diag_part()
==> [1., 2.]

# Equivalent, but inefficient method
tf.linalg.diag_part(my_operator.to_dense())
==> [1., 2.]

domain_dimension_tensor

Просмотреть исходный код

domain_dimension_tensor(
    name='domain_dimension_tensor'
)

Размерность (в смысле векторных пространств) области определения этого оператора.

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как матрица пакета A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], возвращается N.

eigvals

Просмотреть исходный код

eigvals(
    name='eigvals'
)

Возвращает собственные значения этого линейного оператора.

Если оператор помечен как самосопряжённый (с помощью is_self_adjoint), это вычисление может быть эффективнее.

Примечание: В настоящее время поддерживаются только самосопряжённые операторы.

inverse

Просмотреть исходный код

inverse(
    name: str = 'inverse'
) -> 'LinearOperator'

Возвращает обратный оператор для этого LinearOperator.

Для заданного A, представляющего этот LinearOperator, возвращает LinearOperator, представляющий A^-1.

log_abs_determinant

Просмотреть исходный код

log_abs_determinant(
    name='log_abs_det'
)

Логарифм абсолютного значения определителя для каждого элемента пакета.

matmul

Посмотреть исходный код

matmul(
    x, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='matmul'
)

Преобразует матрицу x [пакета] умножением слева: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

X = ... # shape [..., N, R], batch matrix, R > 0.

Y = operator.matmul(X)
Y.shape
==> [..., M, R]

Y[..., :, r] = sum_j A[..., :, j] X[j, r]

matvec

Посмотреть исходный код

matvec(
    x, adjoint=False, name='matvec'
)

Преобразует вектор x [пакета] умножением слева: x --> Ax.

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)

X = ... # shape [..., N], batch vector

Y = operator.matvec(X)
Y.shape
==> [..., M]

Y[..., :] = sum_j A[..., :, j] X[..., j]

range_dimension_tensor

Посмотреть исходный код

range_dimension_tensor(
    name='range_dimension_tensor'
)

Размерность образа этого оператора (в смысле векторных пространств).

Определяется во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], возвращается M.

shape_tensor

Посмотреть исходный код

shape_tensor(
    name='shape_tensor'
)

Форма этого LinearOperator, определяемая во время выполнения.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], возвращается Tensor, содержащий [B1,...,Bb, M, N], что эквивалентно tf.shape(A).

solve

Посмотреть исходный код

solve(
    rhs, adjoint=False, adjoint_arg=False, name='solve'
)

Решает (точные или приближённые) R системы уравнений (пакета): A X = rhs.

Возвращённый объект Tensor будет близок к точному решению, если A хорошо обусловлен. В противном случае степень близости будет различаться. Подробности см. в строке документации класса.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve R > 0 linear systems for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M, R]

X = operator.solve(RHS)
# X[..., :, r] is the solution to the r'th linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j, r] = RHS[..., :, r]

operator.matmul(X)
==> RHS

solvevec

Посмотреть исходный код

solvevec(
    rhs, adjoint=False, name='solve'
)

Решает отдельное уравнение с наилучшей возможной точностью: A X = rhs.

Возвращённый объект Tensor будет близок к точному решению, если A хорошо обусловлен. В противном случае степень близости будет различаться. Подробности см. в строке документации класса.

Примеры:

# Make an operator acting like batch matrix A.  Assume A.shape = [..., M, N]
operator = LinearOperator(...)
operator.shape = [..., M, N]

# Solve one linear system for every member of the batch.
RHS = ... # shape [..., M]

X = operator.solvevec(RHS)
# X is the solution to the linear system
# sum_j A[..., :, j] X[..., j] = RHS[..., :]

operator.matvec(X)
==> RHS

tensor_rank_tensor

Посмотреть исходный код

tensor_rank_tensor(
    name='tensor_rank_tensor'
)

Ранг (в смысле тензоров) матрицы, соответствующей этому оператору.

Если этот оператор действует как пакетная матрица A с A.shape = [B1,...,Bb, M, N], возвращается b + 2.

to_dense

Посмотреть исходный код

to_dense(
    name='to_dense'
)

Возвращает плотную матрицу (пакета), представляющую этот оператор.

trace

Посмотреть исходный код

trace(
    name='trace'
)

След линейного оператора, равный сумме self.diag_part().

Если оператор квадратный, это также сумма собственных значений.

__getitem__

Посмотреть исходный код

__getitem__(
    slices
)

__matmul__

Посмотреть исходный код

__matmul__(
    other
)