tf.linalg.lstsq

Решает одну или несколько задач линейных наименьших квадратов.

tf.linalg.lstsq(
    matrix, rhs, l2_regularizer=0.0, fast=True, name=None
)

matrix — это тензор формы [..., M, N], два последних измерения которого образуют матрицы размера M × N. Тензор правых частей имеет форму [..., M, K], два последних измерения которого образуют матрицы размера M × K. Вычисленный результат — это Tensor формы [..., N, K], два последних измерения которого образуют матрицы размера M × K, решающие уравнения matrix[..., :, :] * output[..., :, :] = rhs[..., :, :] в смысле наименьших квадратов.

Далее для каждой пары матрицы и правых частей в пакете будет использоваться следующая запись:

matrix=\(A \in \Re^{m \times n}\), rhs=\(B \in \Re^{m \times k}\), output=\(X \in \Re^{n \times k}\), l2_regularizer=\(\lambda\).

Если fast имеет значение True, решение вычисляется путём решения нормальных уравнений с помощью разложения Холецкого. В частности, если \(m \ge n\), то \(X = (A^T A + \lambda I)^{-1} A^T B\), что решает задачу наименьших квадратов \(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \Re^{n \times k} } ||A Z - B||_F^2 + \lambda ||Z||_F^2\). Если \(m \lt n\), то output вычисляется как \(X = A^T (A A^T + \lambda I)^{-1} B\); при \(\lambda = 0\) это решение линейной системы с недостаточной определённостью с минимальной нормой, то есть \(X = \mathrm{argmin}_{Z \in \Re^{n \times k} } ||Z||_F^2 \), при условии \(A Z = B\). Обратите внимание, что быстрый путь численно устойчив только тогда, когда матрица \(A\) имеет полный ранг с точки зрения численной точности и её число обусловленности \(\mathrm{cond}(A) \lt \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{mach} } }\), либо когда \(\lambda\) достаточно велико.

Если fast имеет значение False, используется алгоритм на основе численно устойчивого полного ортогонального разложения. Он вычисляет решение задачи наименьших квадратов с минимальной нормой, даже если ранг \(A\) неполный. Этот путь обычно в 6–7 раз медленнее быстрого пути. Если fast имеет значение False, то l2_regularizer игнорируется.