numpy.cov

numpy.cov(m, y=None, rowvar=True, bias=False, ddof=None, fweights=None, aweights=None) [source]

Оценить ковариационную матрицу, заданную данными и весами.

Ковариация показывает степень, в которой две переменные изменяются вместе. Если мы рассматриваем N-мерные выборки, , то элемент ковариационной матрицы — это ковариация и . Элемент — это дисперсия .

См. примечания для обзора алгоритма.

Параметры:

m : array_like Одномерный или двумерный массив, содержащий несколько переменных и наблюдений. Каждая строка m представляет переменную, а каждый столбец — одно наблюдение за всеми этими переменными. Также см. rowvar ниже. y : array_like, необязательно Дополнительный набор переменных и наблюдений. y имеет такую же форму, что и m. rowvar : bool, необязательно Если rowvar равно True (по умолчанию), то каждая строка представляет переменную, а наблюдения находятся в столбцах. В противном случае отношение транспонировано: каждый столбец представляет переменную, а строки содержат наблюдения. bias : bool, необязательно Нормализация по умолчанию (False) — по (N - 1), где N — это количество предоставленных наблюдений (смещённая оценка). Если bias равно True, то нормализация по N. Эти значения могут быть переопределены с помощью ключевого слова ddof в версиях numpy >= 1.5. ddof : int, необязательно Если не None, то значение по умолчанию, подразумеваемое bias, переопределяется. Обратите внимание, что ddof=1 вернёт смещённую оценку, даже если оба fweights и aweights заданы, и ddof=0 вернёт простое среднее значение. Подробнее см. в примечаниях. Значение по умолчанию — None. New in version 1.5. fweights : array_like, int, необязательно Одномерный массив целочисленных весов частоты; количество раз, когда каждый вектор наблюдений должен быть повторён. New in version 1.10. aweights : array_like, необязательно Одномерный массив весов векторов наблюдений. Эти относительные веса обычно велики для наблюдений, считаемых «важными», и меньше для наблюдений, считаемых менее «важными». Если ddof=0, то массив весов можно использовать для назначения вероятностей векторам наблюдений. New in version 1.10.

Возвращаемое значение:

out : ndarray Ковариационная матрица переменных.

См. также

corrcoef

Нормализованная ковариационная матрица

Примечания

Предположим, что наблюдения находятся в столбцах массива наблюдений m и пусть f = fweights и a = aweights для краткости. Шаги вычисления взвешенной ковариации следующие:

>>> w = f * a
>>> v1 = np.sum(w)
>>> v2 = np.sum(w * a)
>>> m -= np.sum(m * w, axis=1, keepdims=True) / v1
>>> cov = np.dot(m * w, m.T) * v1 / (v1**2 - ddof * v2)

Обратите внимание, что когда a == 1, нормирующий множитель v1 / (v1**2 - ddof * v2) переходит в 1 / (np.sum(f) - ddof), как и должно быть.

Примеры

Рассмотрим две переменные, и , которые идеально коррелируют, но в противоположных направлениях:

>>> x = np.array([[0, 2], [1, 1], [2, 0]]).T
>>> x
array([[0, 1, 2],
       [2, 1, 0]])

Обратите внимание, как увеличивается, а уменьшается. Ковариационная матрица чётко это демонстрирует:

>>> np.cov(x)
array([[ 1., -1.],
       [-1.,  1.]])

Обратите внимание на элемент , который показывает корреляцию между и , является отрицательным.

Кроме того, обратите внимание, как x и y объединены:

>>> x = [-2.1, -1,  4.3]
>>> y = [3,  1.1,  0.12]
>>> X = np.vstack((x,y))
>>> print(np.cov(X))
[[ 11.71        -4.286     ]
 [ -4.286        2.14413333]]
>>> print(np.cov(x, y))
[[ 11.71        -4.286     ]
 [ -4.286        2.14413333]]
>>> print(np.cov(x))
11.71