numpy.linalg.eig

numpy.linalg.eig(a) [source]

Вычисление собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы.

Параметры:	a : (..., M, M) массив Матрицы, для которых будут вычислены собственные значения и собственные векторы
Возвращает:	w : (..., M) массив Собственные значения, каждое повторяется в соответствии с его кратностью. Собственные значения не обязательно упорядочены. Результирующий массив будет комплексного типа, если мнимая часть не равна нулю, в противном случае он будет преобразован к вещественному типу. Если a вещественный, то полученные собственные значения будут вещественными (0 мнимая часть) или появятся в сопряжённых парах v : (..., M, M) массив Нормализованные (единичной «длины») собственные векторы, такие, что столбец v[:,i] представляет собой собственный вектор, соответствующий собственному значению w[i].
Возможные исключения:	LinAlgError Если вычисление собственных значений не сходится.

См. также

eigvals

собственные значения несимметричной матрицы.

eigh

собственные значения и собственные векторы симметричной или эрмитовой (сопряжённо-симметричной) матрицы.

eigvalsh

собственные значения симметричной или эрмитовой (сопряжённо-симметричной) матрицы.

Примечания

Введено в версии 1.8.0.

Правила трансляции применяются, см. документацию по numpy.linalg для подробностей.

Это реализовано с использованием подпрограмм _geev LAPACK, которые вычисляют собственные значения и собственные векторы общих квадратных матриц.

Число w является собственным значением a, если существует вектор v, такой что dot(a,v) = w * v. Таким образом, массивы a, w, и v удовлетворяют уравнениям dot(a[:,:], v[:,i]) = w[i] * v[:,i] для .

Массив v собственных векторов может не иметь максимального ранга, то есть некоторые столбцы могут быть линейно зависимыми, хотя погрешность округления может это скрыть. Если все собственные значения различны, то теоретически собственные векторы линейно независимы. Аналогично, (комплекснозначная) матрица собственных векторов v является унитарной, если матрица a является нормальной, то есть, если dot(a, a.H) = dot(a.H, a), где a.H обозначает сопряжённо-транспонированную матрицу a.

Наконец, следует подчеркнуть, что v состоит из правых (как в правой части) собственных векторов a. Вектор y, удовлетворяющий dot(y.T, a) = z * y.T для некоторого числа z, называется левым собственным вектором a, и, вообще говоря, левые и правые собственные векторы матрицы не обязательно являются (возможно сопряжёнными) транспонированными друг к другу.

Литература

Г. Странг, Линейная алгебра и её приложения, 2-е изд., Орландо, Флорида, Издательство Academic Press, Inc., 1980, Различные страницы.

Примеры

>>> from numpy import linalg as LA

(Практически) тривиальный пример с вещественными собственными значениями и собственными векторами.

>>> w, v = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
>>> w; v
array([ 1.,  2.,  3.])
array([[ 1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  1.]])

Вещественная матрица с комплексными собственными значениями и собственными векторами; обратите внимание, что собственные значения являются комплексными сопряжёнными друг другу.

>>> w, v = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
>>> w; v
array([ 1. + 1.j,  1. - 1.j])
array([[ 0.70710678+0.j        ,  0.70710678+0.j        ],
       [ 0.00000000-0.70710678j,  0.00000000+0.70710678j]])

Комплекснозначная матрица с вещественными собственными значениями (но комплексными собственными векторами); обратите внимание, что a.conj().T = a, т.е. a — эрмитова матрица.

>>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
>>> w, v = LA.eig(a)
>>> w; v
array([  2.00000000e+00+0.j,   5.98651912e-36+0.j]) # i.e., {2, 0}
array([[ 0.00000000+0.70710678j,  0.70710678+0.j        ],
       [ 0.70710678+0.j        ,  0.00000000+0.70710678j]])

Будьте внимательны к погрешности округления!

>>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
>>> # Theor. e-values are 1 +/- 1e-9
>>> w, v = LA.eig(a)
>>> w; v
array([ 1.,  1.])
array([[ 1.,  0.],
       [ 0.,  1.]])