numpy.linalg.qr

numpy.linalg.qr(a, mode='reduced') [source]

Вычисление QR-разложения матрицы.

Разложение матрицы a в виде qr, где q является ортогональной и r — верхнетреугольной.

Параметры:	a : array_like, форма (M, N) Матрица, подлежащая разложению. mode : {‘reduced’, ‘complete’, ‘r’, ‘raw’, ‘full’, ‘economic’}, optional Если K = min(M, N), то ‘reduced’ : возвращает q, r с размерами (M, K), (K, N) (по умолчанию) ‘complete’ : возвращает q, r с размерами (M, M), (M, N) ‘r’ : возвращает только r с размерами (K, N) ‘raw’ : возвращает h, tau с размерами (N, M), (K,) ‘full’ : алиас для ‘reduced’, устаревший ‘economic’ : возвращает h из ‘raw’, устаревший. Опции ‘reduced’, ‘complete’ и ‘raw’ являются новыми в numpy 1.8, см. примечания для дополнительной информации. По умолчанию используется ‘reduced’, и для обеспечения обратной совместимости с более ранними версиями numpy, как она, так и устаревшее по умолчанию ‘full’ могут быть опущены. Обратите внимание, что массив h, возвращаемый в режиме ‘raw’, транспонирован для вызова Fortran. Режим ‘economic’ устарел. Режимы ‘full’ и ‘economic’ могут быть переданы только с первой буквой для обратной совместимости, но все остальные должны быть написаны полностью. См. Примечания для более подробного объяснения.
Возвращаемые значения:	q : ndarray с плавающей точкой или комплексными числами, optional Матрица с ортогональными столбцами. При mode = ‘complete’ результат является ортогональной/унитарной матрицей в зависимости от того, является ли a вещественной/комплексной. Определитель в этом случае может быть либо +/- 1. r : ndarray с плавающей точкой или комплексными числами, optional Верхнетреугольная матрица. (h, tau) : ndarrays с типом np.double или np.cdouble, optional Массив h содержит отражатели Хаусхолдера, которые генерируют q вместе с r. Массив tau содержит коэффициенты масштабирования для отражателей. В устаревшем режиме ‘economic’ возвращается только h.
Исключения:	LinAlgError Если разложение не удается.

Примечания

Это интерфейс к LAPACK-функциям dgeqrf, zgeqrf, dorgqr и zungqr.

Для получения дополнительной информации о QR-разложении см., например: http://en.wikipedia.org/wiki/QR_factorization

Подклассы ndarray сохраняются, за исключением режима ‘raw’. Таким образом, если a имеет тип matrix, все возвращаемые значения также будут матрицами.

Новые опции ‘reduced’, ‘complete’ и ‘raw’ для mode были добавлены в NumPy 1.8.0, а старая опция ‘full’ стала алиасом для ‘reduced’. Кроме того, опции ‘full’ и ‘economic’ устарели. Поскольку ‘full’ был предыдущим значением по умолчанию, а ‘reduced’ — новым, обратная совместимость может быть сохранена, если mode используется по умолчанию. Опция ‘raw’ была добавлена для того, чтобы можно было использовать LAPACK-функции, которые могут умножать массивы на q с помощью отражателей Хаусхолдера. Обратите внимание, что в этом случае возвращаемые массивы имеют тип np.double или np.cdouble, а массив h транспонирован для совместимости с Fortran. В настоящее время numpy не предоставляет никаких функций, использующих возвращаемое значение ‘raw’, но некоторые доступны в lapack_lite и просто ожидают необходимой работы.

Примеры

>>> a = np.random.randn(9, 6)
>>> q, r = np.linalg.qr(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(q, r))  # a does equal qr
True
>>> r2 = np.linalg.qr(a, mode='r')
>>> r3 = np.linalg.qr(a, mode='economic')
>>> np.allclose(r, r2)  # mode='r' returns the same r as mode='full'
True
>>> # But only triu parts are guaranteed equal when mode='economic'
>>> np.allclose(r, np.triu(r3[:6,:6], k=0))
True

Пример, демонстрирующий общее использование qr: решение задач наименьших квадратов

Какие наименьшие квадраты m и y0 в y = y0 + mx для следующих данных: {(0,1), (1,0), (1,2), (2,1)}. (Постройте точки, и вы увидите, что это должно быть y0 = 0, m = 1.) Ответ дается путем решения переопределенного матричного уравнения Ax = b, где:

A = array([[0, 1], [1, 1], [1, 1], [2, 1]])
x = array([[y0], [m]])
b = array([[1], [0], [2], [1]])

Если A = qr таким образом, что q ортогональна (что всегда возможно с помощью метода Грама-Шмидта), то x = inv(r) * (q.T) * b. (Однако на практике в numpy мы просто используем lstsq.)

>>> A = np.array([[0, 1], [1, 1], [1, 1], [2, 1]])
>>> A
array([[0, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [2, 1]])
>>> b = np.array([1, 0, 2, 1])
>>> q, r = LA.qr(A)
>>> p = np.dot(q.T, b)
>>> np.dot(LA.inv(r), p)
array([  1.1e-16,   1.0e+00])