numpy.polyfit

numpy.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False) [source]

Наименьшие квадраты полиномиальной аппроксимации.

Вычисляет полином p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg] степени deg, аппроксимирующий точки (x, y). Возвращает вектор коэффициентов p, которые минимизируют среднеквадратическую ошибку.

Параметры:	x : array_like, форма (M,) Координаты x для M точек выборки (x[i], y[i]). y : array_like, форма (M,) или (M, K) Координаты y точек выборки. Несколько наборов точек выборки с одинаковыми координатами x можно подгонять одновременно, передав двумерный массив, содержащий по одному набору данных в каждом столбце. deg : int Степень подгоняемого полинома rcond : float, необязательно Относительное число обусловленности аппроксимации. Сингулярные значения, меньшие этого относительного значения по сравнению с наибольшим сингулярным значением, будут игнорироваться. Значение по умолчанию равно len(x)*eps, где eps — относительная точность типа float, приблизительно 2e-16 в большинстве случаев. full : bool, необязательно Переключатель, определяющий характер возвращаемого значения. Если False (значение по умолчанию), возвращаются только коэффициенты; если True, также возвращается диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям. w : array_like, форма (M,), необязательно Веса для координат y точек выборки. Для гауссовых неопределённостей используйте 1/sigma (не 1/sigma**2). cov : bool, необязательно Возвратить оценку и ковариационную матрицу оценки. Если full равно True, то cov не возвращается.
Возвращает:	p : ndarray, форма (deg + 1,) или (deg + 1, K) Коэффициенты полинома, старшая степень сначала. Если y было 2-мерным, коэффициенты для k-го набора данных находятся в p[:,k]. residuals, rank, singular_values, rcond Присутствуют только если full = True. Остатки наименьших квадратов, эффективный ранг матрицы коэффициентов Вандермонда, её сингулярные значения и заданное значение rcond. Для получения более подробной информации см. linalg.lstsq. V : ndarray, форма (M,M) или (M,M,K) Присутствует только если full = False и cov`=True. The covariance matrix of the polynomial coefficient estimates. The diagonal of this matrix are the variance estimates for each coefficient. If y is a 2-D array, then the covariance matrix for the `k-ый набор данных находятся в V[:,:,k]
Предупреждения:	RankWarning Ранг матрицы коэффициентов в аппроксимации методом наименьших квадратов недостаточен. Предупреждение выдаётся только если full = False. Предупреждения можно отключить, используя >>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

См. также

polyval

Вычисление значений полинома.

linalg.lstsq

Вычисление аппроксимации методом наименьших квадратов.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Вычисление сплайновых аппроксимаций.

Примечания

Решение минимизирует среднеквадратическую ошибку

в уравнениях:

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

Матрица коэффициентов для коэффициентов p является матрицей Вандермонда.

polyfit выдаёт предупреждение RankWarning, когда аппроксимация методом наименьших квадратов плохо обусловлена. Это означает, что наилучшая аппроксимация не определена из-за погрешности вычислений. Результаты можно улучшить, снизив степень полинома или заменив x на x - x.mean(). Параметр rcond также можно установить на значение, меньшее его значения по умолчанию, но полученная аппроксимация может быть ложной: включение вклада от малых сингулярных значений может добавить шумы вычислений к результату.

Обратите внимание, что подгонка полиномиальных коэффициентов изначально плохо обусловлена, когда степень полинома велика или интервал точек выборки плохо центрирован. В таких случаях всегда необходимо проверять качество аппроксимации. Когда полиномиальные аппроксимации неудовлетворительны, сплайны могут быть хорошей альтернативой.

Ссылки

[R58]

Википедия, «Аппроксимация кривых», http://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

[R59]

Википедия, «Полиномическая интерполяция», http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

Примеры

>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254])

Для работы с полиномами удобно использовать объекты poly1d:

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039
>>> p(10)
22.579365079365115

Полиномы высокой степени могут иметь сильные колебания:

>>> p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
/... RankWarning: Polyfit may be poorly conditioned...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204
>>> p30(5)
-0.99999999999999445
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398

Иллюстрация:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()

(Исходный код, png, pdf)