numpy.random.RandomState.gumbel

RandomState.gumbel(loc=0.0, scale=1.0, size=None)

Генерация выборок из распределения Гумбеля.

Генерирует выборки из распределения Гумбеля с заданным параметром сдвига и масштаба. Подробнее о распределении Гумбеля см. раздел «Примечания» и «Ссылки» ниже.

Параметры:

loc : float или array_like из чисел с плавающей точкой, необязательно Сдвиг моды распределения. По умолчанию 0. scale : float или array_like из чисел с плавающей точкой, необязательно Параметр масштаба распределения. По умолчанию 1. size : целое число или кортеж целых чисел, необязательно Форма выходного массива. Если заданная форма, например, (m, n, k), то m * n * k выборок генерируется. Если size равно None (значение по умолчанию), возвращается одно значение, если loc и scale — скаляры. В противном случае генерируются np.broadcast(loc, scale).size выборок.

Возвращает:

out : ndarray или скаляр Сгенерированные выборки из распределения Гумбеля.

См. также

scipy.stats.gumbel_l, scipy.stats.gumbel_r, scipy.stats.genextreme, weibull

Примечания

Распределение Гумбеля (или распределение наименьшего экстремального значения (SEV) или распределение наименьшего экстремального значения типа I) — это один из класса распределений обобщенных экстремальных значений (GEV), используемых при моделировании задач с экстремальными значениями. Распределение Гумбеля — частный случай распределения экстремальных значений типа I для максимальных значений из распределений с «экспоненциально-подобными» хвостами.

Функция плотности вероятности для распределения Гумбеля

где — мода, параметр сдвига, а — параметр масштаба.

Распределение Гумбеля (названное в честь немецкого математика Эмиля Юлиуса Гумбеля) было очень рано использовано в литературе по гидрологии для моделирования случаев наводнений. Оно также используется для моделирования максимальной скорости ветра и интенсивности осадков. Это «распределение с толстыми хвостами» — вероятность события в хвосте распределения выше, чем при использовании гауссова распределения, следовательно, удивительно частое появление наводнений, которые ожидаются раз в 100 лет. Наводнения изначально моделировались как гауссовы процессы, что недооценивало частоту экстремальных событий.

Это одно из класса распределений экстремальных значений, распределения обобщенных экстремальных значений (GEV), которое также включает распределение Вейбулла и Фреше.

Математическое ожидание функции равно , а дисперсия равна .

Ссылки

[R152]

Гумбел, Е. Ю., «Статистический анализ экстремальных значений», Нью-Йорк: Columbia University Press, 1958.

[R153]

Райсс, Р.-Д. и Томас, М., «Статистический анализ экстремальных значений из страхования, финансов, гидрологии и других областей», Базель: Birkhauser Verlag, 2001.

Примеры

Генерация выборок из распределения:

>>> mu, beta = 0, 0.1 # location and scale
>>> s = np.random.gumbel(mu, beta, 1000)

Отображение гистограммы выборок вместе с функцией плотности вероятности:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> count, bins, ignored = plt.hist(s, 30, normed=True)
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp( -np.exp( -(bins - mu) /beta) ),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.show()

(Исходный код, png, pdf)

Демонстрация того, как распределение экстремальных значений может возникнуть из гауссова процесса и сравнение с гауссовым распределением:

>>> means = []
>>> maxima = []
>>> for i in range(0,1000) :
...    a = np.random.normal(mu, beta, 1000)
...    means.append(a.mean())
...    maxima.append(a.max())
>>> count, bins, ignored = plt.hist(maxima, 30, normed=True)
>>> beta = np.std(maxima) * np.sqrt(6) / np.pi
>>> mu = np.mean(maxima) - 0.57721*beta
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp(-np.exp(-(bins - mu)/beta)),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.plot(bins, 1/(beta * np.sqrt(2 * np.pi))
...          * np.exp(-(bins - mu)**2 / (2 * beta**2)),
...          linewidth=2, color='g')
>>> plt.show()

(png, pdf)