numpy.linalg.eig

numpy.linalg.eig(a) [source]

Вычисление собственных значений и правых собственных векторов квадратной матрицы.

Параметры:	a : (..., M, M) массив Матрицы, для которых будут вычислены собственные значения и правые собственные векторы
Возвращает:	w : (..., M) массив Собственные значения, каждое повторяется в соответствии с его кратностью. Собственные значения не обязательно упорядочены. Результирующий массив будет комплексного типа, если мнимая часть равна нулю, в этом случае он будет преобразован к вещественному типу. Когда a вещественный, полученные собственные значения будут вещественными (0 мнимая часть) или появятся в сопряжённых парах v : (..., M, M) массив Нормализованные (единичной «длины») собственные векторы, такие что столбец v[:,i] является собственным вектором, соответствующим собственному значению w[i].
Возбуждает:	LinAlgError Если вычисление собственных значений не сходится.

См. также

eigvals

собственные значения несимметричной матрицы.

eigh

собственные значения и собственные векторы симметричной или эрмитовой (сопряжённо-симметричной) матрицы.

eigvalsh

собственные значения симметричной или эрмитовой (сопряжённо-симметричной) матрицы.

Примечания

Введено в версии 1.8.0.

Применяются правила векторизации, см. документацию по numpy.linalg для подробностей.

Это реализовано с использованием функций _geev LAPACK, которые вычисляют собственные значения и собственные векторы произвольных квадратных матриц.

Число w является собственным значением матрицы a, если существует вектор v, такой что dot(a,v) = w * v. Таким образом, матрицы a, w, и v удовлетворяют уравнениям dot(a[:,:], v[:,i]) = w[i] * v[:,i] для .

Матрица v собственных векторов может не иметь максимального ранга, то есть некоторые столбцы могут быть линейно зависимыми, хотя погрешность округления может это скрыть. Если собственные значения все различны, то теоретически собственные векторы линейно независимы. Аналогично, (комплекснозначная) матрица собственных векторов v является унитарной, если матрица a является нормальной, т.е. если dot(a, a.H) = dot(a.H, a), где a.H обозначает сопряжённо-транспонированную матрицу a.

Наконец, следует подчеркнуть, что v состоит из правых (как на правой стороне) собственных векторов матрицы a. Вектор y удовлетворяющий dot(y.T, a) = z * y.T для некоторого числа z называется левым собственным вектором матрицы a, и, вообще говоря, левые и правые собственные векторы матрицы не обязательно являются (возможно сопряжёнными) транспонированными друг к другу.

Ссылки

Г. Странг, Линейная алгебра и ее приложения, 2-е изд., Орландо, Флорида, Academic Press, Inc., 1980, Различные страницы.

Примеры

>>> from numpy import linalg as LA

(Почти) тривиальный пример с вещественными собственными значениями и собственными векторами.

>>> w, v = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
>>> w; v
array([ 1.,  2.,  3.])
array([[ 1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  1.]])

Вещественная матрица, обладающая комплексными собственными значениями и собственными векторами; обратите внимание, что собственные значения являются комплексно сопряжёнными друг к другу.

>>> w, v = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
>>> w; v
array([ 1. + 1.j,  1. - 1.j])
array([[ 0.70710678+0.j        ,  0.70710678+0.j        ],
       [ 0.00000000-0.70710678j,  0.00000000+0.70710678j]])

Комплекснозначная матрица с вещественными собственными значениями (но комплексными собственными векторами); обратите внимание, что a.conj().T = a, т.е. a является эрмитовой матрицей.

>>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
>>> w, v = LA.eig(a)
>>> w; v
array([  2.00000000e+00+0.j,   5.98651912e-36+0.j]) # i.e., {2, 0}
array([[ 0.00000000+0.70710678j,  0.70710678+0.j        ],
       [ 0.70710678+0.j        ,  0.00000000+0.70710678j]])

Будьте осторожны с погрешностью округления!

>>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
>>> # Theor. e-values are 1 +/- 1e-9
>>> w, v = LA.eig(a)
>>> w; v
array([ 1.,  1.])
array([[ 1.,  0.],
       [ 0.,  1.]])