numpy.linalg.eigh

numpy.linalg.eigh(a, UPLO='L') [source]

Возвращает собственные значения и собственные векторы эрмитовой или симметричной матрицы.

Возвращает два объекта: одномерный массив, содержащий собственные значения a, и двумерный квадратный массив или матрицу (в зависимости от типа входных данных) соответствующих собственных векторов (в столбцах).

Параметры:	a : (..., M, M) массив Эрмитовы/симметричные матрицы, для которых необходимо вычислить собственные значения и собственные векторы. UPLO : {‘L’, ‘U’}, необязательно Указывает, вычисляется ли значение с использованием нижней треугольной части a (‘L’, по умолчанию) или верхней треугольной части (‘U’). Независимо от этого значения только действительные части диагонали будут учтены в вычислении для сохранения понятия эрмитовой матрицы. Следовательно, мнимая часть диагонали всегда будет рассматриваться как нулевая.
Возвращает:	w : (..., M) ndarray Собственные значения в порядке возрастания, каждое повторяется в соответствии со своей кратностью. v : {(..., M, M) ndarray, (..., M, M) матрица} Столбец v[:, i] является нормированным собственным вектором, соответствующим собственному значению w[i]. Будет возвращена матрица, если a — объект матрицы.
Возможные исключения:	LinAlgError Если вычисление собственных значений не сходится.

См. также

eigvalsh

собственные значения симметричных или эрмитовых массивов.

eig

собственные значения и правые собственные векторы для несимметричных массивов.

eigvals

собственные значения несимметричных массивов.

Примечания

Новая функция в версии 1.8.0.

Применяются правила вещания, см. документацию numpy.linalg для получения подробной информации.

Собственные значения/векторы вычисляются с помощью процедур LAPACK _syevd, _heevd

Собственные значения вещественных симметричных или комплексных эрмитовых матриц всегда вещественные. [R41] Массив v (столбцов) собственных векторов является унитарным и a, w, и v удовлетворяют уравнениям dot(a, v[:, i]) = w[i] * v[:, i].

Ссылки

[R41]

(1, 2) G. Strang, Линейная алгебра и ее приложения, 2-е изд., Орландо, FL, Academic Press, Inc., 1980, стр. 222.

Примеры

>>> from numpy import linalg as LA
>>> a = np.array([[1, -2j], [2j, 5]])
>>> a
array([[ 1.+0.j,  0.-2.j],
       [ 0.+2.j,  5.+0.j]])
>>> w, v = LA.eigh(a)
>>> w; v
array([ 0.17157288,  5.82842712])
array([[-0.92387953+0.j        , -0.38268343+0.j        ],
       [ 0.00000000+0.38268343j,  0.00000000-0.92387953j]])

>>> np.dot(a, v[:, 0]) - w[0] * v[:, 0] # verify 1st e-val/vec pair
array([2.77555756e-17 + 0.j, 0. + 1.38777878e-16j])
>>> np.dot(a, v[:, 1]) - w[1] * v[:, 1] # verify 2nd e-val/vec pair
array([ 0.+0.j,  0.+0.j])

>>> A = np.matrix(a) # what happens if input is a matrix object
>>> A
matrix([[ 1.+0.j,  0.-2.j],
        [ 0.+2.j,  5.+0.j]])
>>> w, v = LA.eigh(A)
>>> w; v
array([ 0.17157288,  5.82842712])
matrix([[-0.92387953+0.j        , -0.38268343+0.j        ],
        [ 0.00000000+0.38268343j,  0.00000000-0.92387953j]])

>>> # demonstrate the treatment of the imaginary part of the diagonal
>>> a = np.array([[5+2j, 9-2j], [0+2j, 2-1j]])
>>> a
array([[ 5.+2.j,  9.-2.j],
       [ 0.+2.j,  2.-1.j]])
>>> # with UPLO='L' this is numerically equivalent to using LA.eig() with:
>>> b = np.array([[5.+0.j, 0.-2.j], [0.+2.j, 2.-0.j]])
>>> b
array([[ 5.+0.j,  0.-2.j],
       [ 0.+2.j,  2.+0.j]])
>>> wa, va = LA.eigh(a)
>>> wb, vb = LA.eig(b)
>>> wa; wb
array([ 1.,  6.])
array([ 6.+0.j,  1.+0.j])
>>> va; vb
array([[-0.44721360-0.j        , -0.89442719+0.j        ],
       [ 0.00000000+0.89442719j,  0.00000000-0.4472136j ]])
array([[ 0.89442719+0.j       ,  0.00000000-0.4472136j],
       [ 0.00000000-0.4472136j,  0.89442719+0.j       ]])