numpy.cov

numpy.cov(m, y=None, rowvar=True, bias=False, ddof=None, fweights=None, aweights=None) [source]

Оцените ковариационную матрицу, заданную данными и весами.

Ковариация указывает на уровень, в котором две переменные изменяются вместе. Если мы рассматриваем N-мерные выборки, , то элемент ковариационной матрицы — это ковариация и . Элемент — это дисперсия .

См. примечания для обзора алгоритма.

Параметры:

m : array_like Массив 1-D или 2-D, содержащий несколько переменных и наблюдений. Каждая строка m представляет переменную, а каждый столбец — отдельное наблюдение всех этих переменных. Также см. rowvar ниже. y : array_like, необязательно Дополнительный набор переменных и наблюдений. y имеет ту же форму, что и m. rowvar : bool, необязательно Если rowvar равно True (по умолчанию), то каждая строка представляет переменную, а наблюдения находятся в столбцах. В противном случае отношение транспонировано: каждый столбец представляет переменную, а строки содержат наблюдения. bias : bool, необязательно Нормализация по умолчанию (False) выполняется по (N - 1), где N — количество предоставленных наблюдений (несмещённая оценка). Если bias равно True, то нормализация выполняется по N. Эти значения можно переопределить, используя ключевое слово ddof в версиях numpy >= 1.5. ddof : int, необязательно Если не None значение по умолчанию, подразумеваемое bias переопределяется. Обратите внимание, что ddof=1 вернёт несмещённую оценку, даже если оба fweights и aweights указаны, а ddof=0 вернёт простое среднее значение. Подробности см. в примечаниях. Значение по умолчанию — None. Введено в версии 1.5. fweights : array_like, int, необязательно Массив целых чисел 1-D частот весов; количество раз, когда каждый вектор наблюдения должен быть повторён. Введено в версии 1.10. aweights : array_like, необязательно Массив 1-D весов векторов наблюдений. Эти относительные веса обычно велики для наблюдений, считающихся «важными», и меньше для наблюдений, считающихся менее «важными». Если ddof=0 массив весов может быть использован для назначения вероятностей векторам наблюдений. Введено в версии 1.10.

Возвращаемое значение:

out : ndarray Матрица ковариации переменных.

См. также

corrcoef

Нормализованная ковариационная матрица

Примечания

Предположим, что наблюдения находятся в столбцах массива наблюдений m и пусть f = fweights и a = aweights для краткости. Шаги вычисления взвешенной ковариации следующие:

>>> w = f * a
>>> v1 = np.sum(w)
>>> v2 = np.sum(w * a)
>>> m -= np.sum(m * w, axis=1, keepdims=True) / v1
>>> cov = np.dot(m * w, m.T) * v1 / (v1**2 - ddof * v2)

Обратите внимание, что когда a == 1, множитель нормализации v1 / (v1**2 - ddof * v2) переходит к 1 / (np.sum(f) - ddof), как и должно быть.

Примеры

Рассмотрим две переменные, и , которые идеально коррелируют, но в противоположных направлениях:

>>> x = np.array([[0, 2], [1, 1], [2, 0]]).T
>>> x
array([[0, 1, 2],
       [2, 1, 0]])

Обратите внимание, как увеличивается, а уменьшается. Матрица ковариаций ясно это показывает:

>>> np.cov(x)
array([[ 1., -1.],
       [-1.,  1.]])

Обратите внимание, что элемент , который показывает корреляцию между и , является отрицательным.

Кроме того, обратите внимание, как x и y комбинируются:

>>> x = [-2.1, -1,  4.3]
>>> y = [3,  1.1,  0.12]
>>> X = np.stack((x, y), axis=0)
>>> print(np.cov(X))
[[ 11.71        -4.286     ]
 [ -4.286        2.14413333]]
>>> print(np.cov(x, y))
[[ 11.71        -4.286     ]
 [ -4.286        2.14413333]]
>>> print(np.cov(x))
11.71