numpy.polyfit

numpy.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False) [source]

Наименьшие квадраты для полиномиальной аппроксимации.

Аппроксимирует полиномом p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg] степени deg точки (x, y). Возвращает вектор коэффициентов p, минимизирующих среднеквадратичную ошибку.

Параметры:	x : array_like, shape (M,) Координаты x M точек выборки (x[i], y[i]). y : array_like, shape (M,) or (M, K) Координаты y точек выборки. Несколько наборов точек выборки с одинаковыми координатами x могут быть аппроксимированы сразу, передав двумерный массив, содержащий один набор данных на столбец. deg : int Степень аппроксимирующего полинома rcond : float, optional Относительное число обусловленности аппроксимации. Сингулярные значения, меньшие этого значения по отношению к наибольшему сингулярному значению, будут проигнорированы. Значение по умолчанию равно len(x)*eps, где eps — относительная точность типа float, примерно 2e-16 в большинстве случаев. full : bool, optional Переключатель, определяющий характер возвращаемого значения. Если значение ложно (по умолчанию), возвращаются только коэффициенты, если истинно — также диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям. w : array_like, shape (M,), optional Веса, применяемые к координатам y точек выборки. Для гауссовых неопределённостей используйте 1/sigma (а не 1/sigma**2). cov : bool, optional Возвратить оценку и ковариационную матрицу оценки. Если full равно True, то cov не возвращается.
Возвращает:	p : ndarray, shape (deg + 1,) or (deg + 1, K) Коэффициенты полинома, начиная с коэффициента при старшей степени. Если y был двумерным, то коэффициенты для k-го набора данных находятся в p[:,k]. residuals, rank, singular_values, rcond Присутствуют только если full = True. Остатки наименьших квадратов, эффективный ранг матрицы коэффициентов Вандермонда, её сингулярные значения и заданное значение rcond. Для получения дополнительной информации см. linalg.lstsq. V : ndarray, shape (M,M) or (M,M,K) Присутствует только если full = False и коэффициенты cov`=True. The covariance matrix of the polynomial coefficient estimates. The diagonal of this matrix are the variance estimates for each coefficient. If y is a 2-D array, then the covariance matrix for the `k-го набора данных находятся в V[:,:,k]
Предупреждения:	RankWarning Ранг матрицы коэффициентов в аппроксимации наименьших квадратов недостаточный. Предупреждение выводится только если full = False. Предупреждения можно отключить >>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

См. также

polyval

Вычисление значений полинома.

linalg.lstsq

Вычисление наименьших квадратов.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Вычисление сплайновых аппроксимаций.

Примечания

Решение минимизирует среднеквадратичную ошибку

в уравнениях:

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

Матрица коэффициентов полинома p является матрицей Вандермонда.

polyfit выдаёт предупреждение RankWarning, когда аппроксимация наименьших квадратов плохо обусловлена. Это означает, что наилучшая аппроксимация не определена из-за числовых ошибок. Результаты можно улучшить, уменьшив степень полинома или заменив x на x - x.mean(). Параметр rcond также может быть установлен на значение, меньшее, чем значение по умолчанию, но полученная аппроксимация может быть ошибочной: включение вклада от малых сингулярных значений может добавить в результат шум.

Обратите внимание, что аппроксимация коэффициентов полинома внутренне плохо обусловлена, когда степень полинома велика или интервал точек выборки плохо центрирован. В этих случаях всегда необходимо проверять качество аппроксимации. Когда аппроксимация полинома неудовлетворительна, сплайны могут быть хорошей альтернативой.

Ссылки

[1]	Википедия, «Аппроксимация кривых», http://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

[2]	Википедия, «Полиномическая интерполяция», http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

Примеры

>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254])

Для работы с полиномами удобно использовать объекты poly1d:

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039
>>> p(10)
22.579365079365115

Полиномы высокой степени могут сильно колебаться:

>>> p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
/... RankWarning: Polyfit may be poorly conditioned...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204
>>> p30(5)
-0.99999999999999445
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398

Иллюстрация:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()