numpy.random.RandomState.gumbel

RandomState.gumbel(loc=0.0, scale=1.0, size=None)

Генерация выборок из распределения Гумбеля.

Генерирует выборки из распределения Гумбеля с заданными параметрами сдвига и масштаба. Подробнее о распределении Гумбеля см. в разделе «Примечания» и «Ссылки» ниже.

Параметры:

loc : float or array_like of floats, optional Сдвиг (смещение) распределения. По умолчанию 0. scale : float or array_like of floats, optional Масштаб распределения. По умолчанию 1. size : int or tuple of ints, optional Форма выходных данных. Если заданная форма, например, (m, n, k), то генерируется m * n * k выборок. Если размерность не задана (по умолчанию), возвращается одно значение, если loc и scale — скалярные величины. В противном случае генерируется np.broadcast(loc, scale).size выборок.

Возвращает:

out : ndarray or scalar Выборка сгенерированных чисел из распределения Гумбеля.

См. также

scipy.stats.gumbel_l, scipy.stats.gumbel_r, scipy.stats.genextreme, weibull

Примечания

Распределение Гумбеля (или распределение наименьшего экстремального значения (SEV) или наименьшего экстремального значения типа I) является одним из класса распределений обобщенных экстремальных значений (GEV), используемых в задачах моделирования экстремальных значений. Распределение Гумбеля является частным случаем распределения экстремального значения типа I для максимумов из распределений с «экспоненциально-подобными» хвостами.

Плотность вероятности для распределения Гумбеля:

где — мода (параметр местоположения), а — параметр масштаба.

Распределение Гумбеля (названо в честь немецкого математика Эмиля Юлиуса Гумбеля) было использовано очень рано в гидрологических исследованиях для моделирования наводнений. Оно также используется для моделирования максимальной скорости ветра и интенсивности осадков. Это распределение с «толстыми хвостами» — вероятность события в хвосте распределения выше, чем если использовать гауссово распределение, следовательно, удивительно частое возникновение наводнений раз в 100 лет. Наводнения первоначально моделировались как гауссовый процесс, что недооценивало частоту экстремальных событий.

Это одно из класса распределений экстремальных значений, обобщенные распределения экстремальных значений (GEV), которое также включает в себя распределение Вейбулла и Фреше.

Математическое ожидание равно , а дисперсия равна .

Ссылки

[1]	Gumbel, E. J., “Statistics of Extremes,” New York: Columbia University Press, 1958.

[2]	Reiss, R.-D. and Thomas, M., “Statistical Analysis of Extreme Values from Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields,” Basel: Birkhauser Verlag, 2001.

Примеры

Генерация выборок из распределения:

>>> mu, beta = 0, 0.1 # location and scale
>>> s = np.random.gumbel(mu, beta, 1000)

Отображение гистограммы выборок вместе с функцией плотности вероятности:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> count, bins, ignored = plt.hist(s, 30, density=True)
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp( -np.exp( -(bins - mu) /beta) ),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.show()

Демонстрация того, как распределение экстремальных значений может возникнуть из гауссового процесса, и сравнение с гауссовым распределением:

>>> means = []
>>> maxima = []
>>> for i in range(0,1000) :
...    a = np.random.normal(mu, beta, 1000)
...    means.append(a.mean())
...    maxima.append(a.max())
>>> count, bins, ignored = plt.hist(maxima, 30, density=True)
>>> beta = np.std(maxima) * np.sqrt(6) / np.pi
>>> mu = np.mean(maxima) - 0.57721*beta
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp(-np.exp(-(bins - mu)/beta)),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.plot(bins, 1/(beta * np.sqrt(2 * np.pi))
...          * np.exp(-(bins - mu)**2 / (2 * beta**2)),
...          linewidth=2, color='g')
>>> plt.show()