numpy.polyfit

numpy.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False) [source]

Наименьшие квадраты полиномиальной аппроксимации.

Аппроксимирует полиномом p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg] степени deg к точкам (x, y). Возвращает вектор коэффициентов p, которые минимизируют среднеквадратичную ошибку в порядке deg, deg-1, … 0.

Метод класса Polynomial.fit рекомендуется для нового кода, так как он более устойчив численно. Для получения дополнительной информации см. документацию метода.

Параметры

xarray_like, shape (M,)

Координаты x M выборочных точек (x[i], y[i]).

yarray_like, shape (M,) or (M, K)

Координаты y выборочных точек. Несколько наборов точек, имеющих одинаковые координаты x, могут быть аппроксимированы одновременно, передав двумерный массив, содержащий один набор данных в каждом столбце.

degint

Степень аппроксимирующего полинома

rcondfloat, optional

Относительное число обусловленности аппроксимации. Сингулярные значения, меньшие этого значения, относительно наибольшего сингулярного значения, будут игнорироваться. Значение по умолчанию равно len(x)*eps, где eps — относительная точность типа float, примерно 2e-16 в большинстве случаев.

fullbool, optional

Переключатель, определяющий характер возвращаемого значения. Когда он равен False (по умолчанию), возвращаются только коэффициенты, а когда True, также возвращается диагностическая информация из разложения по сингулярным значениям.

warray_like, shape (M,), optional

Веса, применяемые к координатам y выборочных точек. Для гауссовых неопределённостей используйте 1/sigma (а не 1/sigma**2).

covbool or str, optional

Если задано и не False, возвращает не только оценку, но и её ковариационную матрицу. По умолчанию ковариации масштабируются с помощью chi2/sqrt(N-dof), т.е. предполагается, что веса ненадежны, за исключением относительного смысла, и всё масштабируется так, что уменьшенная chi2 равна единице. Это масштабирование опускается, если cov='unscaled', что актуально для случая, когда веса равны 1/sigma**2, а sigma является надёжной оценкой неопределённости.

Возвращает

pndarray, shape (deg + 1,) or (deg + 1, K)

Коэффициенты полинома, старшая степень первой. Если y была 2-мерной, коэффициенты для k-го набора данных находятся в p[:,k].

residuals, rank, singular_values, rcond

Присутствуют только если full = True. Residuals — это сумма квадратов остатков наименьших квадратов аппроксимации, эффективного ранга масштабированной матрицы коэффициентов Вандермонда, её сингулярных значений и указанного значения rcond. Для получения более подробной информации см. linalg.lstsq.

Vndarray, shape (M,M) or (M,M,K)

Присутствуют только если full = False и cov`=True. The covariance matrix of the polynomial coefficient estimates. The diagonal of this matrix are the variance estimates for each coefficient. If y is a 2-D array, then the covariance matrix for the `k-го набора данных находятся в V[:,:,k].

Предупреждения

RankWarning

Ранг матрицы коэффициентов в аппроксимации методом наименьших квадратов недостаточен. Предупреждение выдаётся только если full = False.

Предупреждения можно отключить, выполнив

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

См. также

polyval

Вычисление значений полинома.

linalg.lstsq

Вычисляет аппроксимацию методом наименьших квадратов.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

Вычисляет аппроксимации сплайнами.

Примечания

Решение минимизирует среднеквадратичную ошибку

в уравнениях:

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

Матрица коэффициентов p является матрицей Вандермонда.

polyfit генерирует предупреждение RankWarning, когда аппроксимация методом наименьших квадратов плохо обусловлена. Это означает, что наилучшая аппроксимация не определена точно из-за погрешности вычислений. Результаты могут быть улучшены путем понижения степени полинома или заменой x на x - x.mean(). Параметр rcond также можно установить на значение, меньшее по умолчанию, но полученная аппроксимация может быть ложной: включение вкладов от малых сингулярных значений может добавить шума вычислений к результату.

Обратите внимание, что вычисление коэффициентов полинома по своей природе плохо обусловлено, когда степень полинома велика или интервал выборочных точек плохо центрирован. В этих случаях всегда необходимо проверять качество аппроксимации. Когда полиномиальная аппроксимация неудовлетворительна, сплайны могут быть хорошей альтернативой.

Ссылки

1

Википедия, «Аппроксимация кривых», https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

2

Википедия, «Полиномическая интерполяция», https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

Примеры

>>> import warnings
>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254]) # may vary

Для работы с полиномами удобно использовать объекты poly1d:

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179 # may vary
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039 # may vary
>>> p(10)
22.579365079365115 # may vary

Полиномы высокой степени могут сильно колебаться:

>>> with warnings.catch_warnings():
...     warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)
...     p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204 # may vary
>>> p30(5)
-0.99999999999999445 # may vary
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398 # may vary

Иллюстрация:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()