16.4 Известные матрицы

Следующие функции возвращают известные формы матриц.

: gallery (name) ¶

: gallery (name, args) ¶

Создать интересные матрицы для тестирования.

: c = gallery ("cauchy", x) ¶

: c = gallery ("cauchy", x, y) ¶

Создать матрицу Коши.

: c = gallery ("chebspec", n) ¶

: c = gallery ("chebspec", n, k) ¶

Создать матрицу Чебышёва спектральной дифференциации.

: c = gallery ("chebvand", p) ¶

: c = gallery ("chebvand", m, p) ¶

Создать матрицу, подобную Вандермонду, для полиномов Чебышёва.

: a = gallery ("chow", n) ¶

: a = gallery ("chow", n, alpha) ¶

: a = gallery ("chow", n, alpha, delta) ¶

Создать матрицу Чоу — вырожденную нижнетреугольную матрицу Тоepлицa.

: c = gallery ("circul", v) ¶

Создать циркулярную матрицу.

: a = gallery ("clement", n) ¶

: a = gallery ("clement", n, k) ¶

Создать треугольную матрицу с нулевыми диагональными элементами.

: c = gallery ("compar", a) ¶

: c = gallery ("compar", a, k) ¶

Создать сравнительную матрицу.

: a = gallery ("condex", n) ¶

: a = gallery ("condex", n, k) ¶

: a = gallery ("condex", n, k, theta) ¶

Создать матрицу «контрпримера» для оценки условия.

: a = gallery ("cycol", [m n]) ¶

: a = gallery ("cycol", n) ¶

: a = gallery (…, k) ¶

Создать матрицу, столбцы которой циклически повторяются.

: [c, d, e] = gallery ("dorr", n) ¶

: [c, d, e] = gallery ("dorr", n, theta) ¶

: a = gallery ("dorr", …) ¶

Создать диагонально доминирующую, плохо обусловленную треугольную матрицу.

: a = gallery ("dramadah", n) ¶

: a = gallery ("dramadah", n, k) ¶

Создать матрицу (0, 1), обратная которой имеет большие целочисленные значения.

: a = gallery ("fiedler", c) ¶

Создать симметричную матрицу Фидлера.

: a = gallery ("forsythe", n) ¶

: a = gallery ("forsythe", n, alpha) ¶

: a = gallery ("forsythe", n, alpha, lambda) ¶

Создать матрицу Форсайтa (возмущённый блок Жордана).

: f = gallery ("frank", n) ¶

: f = gallery ("frank", n, k) ¶

Создать матрицу Франка (плохо обусловленные собственные значения).

: c = gallery ("gcdmat", n) ¶

Создать матрицу наибольшего общего делителя.

c — n-на-n матрица, значения которой соответствуют наибольшему общему делителю координатных значений, т.е. c(i,j) соответствуют gcd (i, j).

: a = gallery ("gearmat", n) ¶

: a = gallery ("gearmat", n, i) ¶

: a = gallery ("gearmat", n, i, j) ¶

Создать матрицу Гира.

: g = gallery ("grcar", n) ¶

: g = gallery ("grcar", n, k) ¶

Создать матрицу Тоepлицa с чувствительными собственными значениями.

: a = gallery ("hanowa", n) ¶

: a = gallery ("hanowa", n, d) ¶

Создать матрицу, собственные значения которой лежат на вертикальной прямой в комплексной плоскости.

: v = gallery ("house", x) ¶

: [v, beta] = gallery ("house", x) ¶

Создать матрицу Гаусса.

: a = gallery ("integerdata", imax, [M N …], j) ¶

: a = gallery ("integerdata", imax, M, N, …, j) ¶

: a = gallery ("integerdata", [imin, imax], [M N …], j) ¶

: a = gallery ("integerdata", [imin, imax], M, N, …, j) ¶

: a = gallery ("integerdata", …, "class") ¶

Создать матрицу с случайными целыми числами в диапазоне [1, imax]. Если задан imin, то целые числа находятся в диапазоне [imin, imax].

Вторым входом является матрица, описывающая размер выходной матрицы. Размер также можно задать как аргументы, разделённые запятыми.

Вход j — целочисленный индекс в диапазоне [0, 2^32-1]. Значения выходной матрицы всегда точно одинаковы (воспроизводимость) для заданного размера входной матрицы и индекса j.

Последний необязательный аргумент определяет тип создаваемой матрицы. Возможные значения для class: "uint8", "uint16", "uint32", "int8", "int16", int32", "single", "double". По умолчанию "double".

: a = gallery ("invhess", x) ¶

: a = gallery ("invhess", x, y) ¶

Создать обратную верхнетреугольную матрицу.

: a = gallery ("invol", n) ¶

Создать инволютивную матрицу.

: a = gallery ("ipjfact", n) ¶

: a = gallery ("ipjfact", n, k) ¶

Создать матрицу Ханкеля с факториальными элементами.

: a = gallery ("jordbloc", n) ¶

: a = gallery ("jordbloc", n, lambda) ¶

Создать блок Жордана.

: u = gallery ("kahan", n) ¶

: u = gallery ("kahan", n, theta) ¶

: u = gallery ("kahan", n, theta, pert) ¶

Создать матрицу Кахана (верхняя трапециевидная).

: a = gallery ("kms", n) ¶

: a = gallery ("kms", n, rho) ¶

Создать матрицу Каца-Мёрдока-Зеге (матрица Тоepлицa).

: b = gallery ("krylov", a) ¶

: b = gallery ("krylov", a, x) ¶

: b = gallery ("krylov", a, x, j) ¶

Создать матрицу Крёлова.

: a = gallery ("lauchli", n) ¶

: a = gallery ("lauchli", n, mu) ¶

Создать матрицу Лаукли (прямоугольная).

: a = gallery ("lehmer", n) ¶

Создать матрицу Лемера (симметричная положительно определённая).

: t = gallery ("lesp", n) ¶

Создать трёхдиагональную матрицу с действительными, чувствительными собственными значениями.

: a = gallery ("lotkin", n) ¶

Создать матрицу Лоткина.

: a = gallery ("minij", n) ¶

Создать симметричную положительно определённую матрицу MIN(i,j).

: a = gallery ("moler", n) ¶

: a = gallery ("moler", n, alpha) ¶

Создать матрицу Молера (симметричная положительно определённая).

: [a, t] = gallery ("neumann", n) ¶

Создать сингулярную матрицу из дискретного уравнения Неймана (разреженная).

: a = gallery ("normaldata", [M N …], j) ¶

: a = gallery ("normaldata", M, N, …, j) ¶

: a = gallery ("normaldata", …, "class") ¶

Создать матрицу со случайными выборками из стандартного нормального распределения (среднее = 0, стандартное отклонение = 1).

В первом входе — матрица, описывающая размер выходной матрицы. Размер также можно задать как аргументы, разделённые запятыми.

Вход j — целочисленный индекс в диапазоне [0, 2^32-1]. Значения выходной матрицы всегда точно одинаковы (воспроизводимость) для заданного размера входной матрицы и индекса j.

Последний необязательный аргумент определяет тип создаваемой матрицы. Возможные значения для class: "single", "double". По умолчанию "double".

: q = gallery ("orthog", n) ¶

: q = gallery ("orthog", n, k) ¶

Создать ортогональные и почти ортогональные матрицы.

: a = gallery ("parter", n) ¶

Создать матрицу Партера (матрица Тоepлицa с сингулярными значениями, близкими к pi).

: p = gallery ("pei", n) ¶

: p = gallery ("pei", n, alpha) ¶

Создать матрицу Пей.

: a = gallery ("poisson", n) ¶

Создать блочно-треугольную матрицу из уравнения Пуассона (разреженная).

: a = gallery ("prolate", n) ¶

: a = gallery ("prolate", n, w) ¶

Создать пролатную матрицу (симметричная, плохо обусловленная матрица Топлица).

: h = gallery ("randhess", x) ¶

Создать случайную ортогональную верхнюю гэссенберговскую матрицу.

: a = gallery ("rando", n) ¶

: a = gallery ("rando", n, k) ¶

Создать случайную матрицу с элементами -1, 0 или 1.

: a = gallery ("randsvd", n) ¶

: a = gallery ("randsvd", n, kappa) ¶

: a = gallery ("randsvd", n, kappa, mode) ¶

: a = gallery ("randsvd", n, kappa, mode, kl) ¶

: a = gallery ("randsvd", n, kappa, mode, kl, ku) ¶

Создать случайную матрицу с предварительно заданными сингулярными значениями.

: a = gallery ("redheff", n) ¶

Создать нулевую и единичную матрицу Редхеффера, связанную с гипотезой Римана.

: a = gallery ("riemann", n) ¶

Создать матрицу, связанную с гипотезой Римана.

: a = gallery ("ris", n) ¶

Создать симметричную матрицу Ханкеля.

: a = gallery ("smoke", n) ¶

: a = gallery ("smoke", n, k) ¶

Создать комплексную матрицу с псевдоспектром «кольцо дыма».

: t = gallery ("toeppd", n) ¶

: t = gallery ("toeppd", n, m) ¶

: t = gallery ("toeppd", n, m, w) ¶

: t = gallery ("toeppd", n, m, w, theta) ¶

Создать симметричную положительно определённую матрицу Топлица.

: p = gallery ("toeppen", n) ¶

: p = gallery ("toeppen", n, a) ¶

: p = gallery ("toeppen", n, a, b) ¶

: p = gallery ("toeppen", n, a, b, c) ¶

: p = gallery ("toeppen", n, a, b, c, d) ¶

: p = gallery ("toeppen", n, a, b, c, d, e) ¶

Создать пентадиагональную матрицу Топлица (разреженная).

: a = gallery ("tridiag", x, y, z) ¶

: a = gallery ("tridiag", n) ¶

: a = gallery ("tridiag", n, c, d, e) ¶

Создать треугольную матрицу (разреженная).

: t = gallery ("triw", n) ¶

: t = gallery ("triw", n, alpha) ¶

: t = gallery ("triw", n, alpha, k) ¶

Создать верхнюю треугольную матрицу, обсуждаемую Каханом, Голубом и Уилкинсоном.

: a = gallery ("uniformdata", [M N …], j) ¶

: a = gallery ("uniformdata", M, N, …, j) ¶

: a = gallery ("uniformdata", …, "class") ¶

Создать матрицу со случайными выборками из стандартного равномерного распределения (диапазон [0,1]).

Первый вход — матрица размеров, описывающая размер выходных данных. Размеры также можно ввести через запятые.

Вход j — целочисленный индекс в диапазоне [0, 2^32-1]. Значения матрицы-выхода всегда точно одинаковы (воспроизводимость) для заданного входного размера и индекса j.

Дополнительный необязательный аргумент определяет класс полученной матрицы. Возможные значения для class: "single", "double". По умолчанию "double".

: a = gallery ("wathen", nx, ny) ¶

: a = gallery ("wathen", nx, ny, k) ¶

Создать матрицу Уэтена.

: [a, b] = gallery ("wilk", n) ¶

Создать различные специфические матрицы, разработанные/обсуждённые Уилкинсоном.

: h = hadamard (n) ¶

Построить матрицу Адамара (Hn) размера n-на-n.

Размер n должен иметь вид 2^k * p, где p равно 1, 12, 20 или 28. Возвращаемая матрица нормирована, что означает Hn(:,1) == 1 и Hn(1,:) == 1.

Некоторые свойства матриц Адамара:

• kron (Hm, Hn) является матрицей Адамара размера m-на-n.
• Hn * Hn' = n * eye (n).
• Строки Hn ортогональны.
• det (A) <= abs (det (Hn)) для всех A с abs (A(i, j)) <= 1.
• Умножение любой строки или столбца на -1 не изменяет того, что матрица остается матрицей Адамара.

См. также: compan, hankel, toeplitz.

: h = hankel (c) ¶

: h = hankel (c, r) ¶

Возвращает матрицу Ханкеля, построенную из первого столбца c и (необязательно) последней строки r.

Если последний элемент c не совпадает с первым элементом r, используется последний элемент c. Если второй аргумент опущен, предполагается, что это вектор нулей с тем же размером, что и c.

Матрица Ханкеля, сформированная из m-вектора c и n-вектора r, имеет элементы

H(i,j) = c(i+j-1),  i+j-1 <= m;
H(i,j) = r(i+j-m),  otherwise

См. также: hadamard, toeplitz.

: h = hilb (n) ¶

Возвращает матрицу Гильберта порядка n.

Элемент i,j матрицы Гильберта определяется как

H(i, j) = 1 / (i + j - 1)

Матрицы Гильберта близки к вырожденным, что затрудняет их обращение с помощью численных процедур. Сравнение числа обусловленности случайной 5x5 матрицы с матрицей Гильберта 5-го порядка показывает, насколько сложной является эта задача.

cond (rand (5))
   ⇒ 14.392
cond (hilb (5))
   ⇒ 4.7661e+05

См. также: invhilb.

: hinv = invhilb (n) ¶

Возвращает обратную матрицу Гильберта порядка n.

Это можно вычислить точно с помощью

(i+j)         /n+i-1\  /n+j-1\   /i+j-2\ 2
A(i,j) = -1      (i+j-1)(       )(       ) (       )
                         \ n-j /  \ n-i /   \ i-2 /

       = p(i) p(j) / (i+j-1)

где

k  /k+n-1\   /n\
p(k) = -1  (       ) (   )
            \ k-1 /   \k/

Правильность этой формулы легко проверить, раскрыв биномиальные коэффициенты в обеих формулах через факториалы. Ее можно вывести более непосредственно из теории матриц Коши. См. Дж. В. Деммель, Прикладная численная линейная алгебра, стр. 92.

Сравните это с численным вычислением inv (hilb (n)), которое страдает от плохо обусловленности матрицы Гильберта и конечной точности плавающей арифметики вашего компьютера.

См. также: hilb.

: M = magic (n) ¶

Создать магический квадрат размера n-на-n.

Магический квадрат — это расположение целых чисел 1:n^2 таким образом, что суммы по строкам, столбцам и диагоналям равны одному и тому же значению.

Примечание: n должен быть скаляром, большим или равным 3. Если вы укажете n меньше 3, magic возвращает либо не-магический квадрат, либо вырожденные магические квадраты 1 и [].

: P = pascal (n) ¶

: P = pascal (n, t) ¶

Возвращает матрицу Паскаля порядка n, если t = 0.

Значение по умолчанию для t равно 0.

Если t = 1, возвращается псевдонижняя треугольная факторизация Холески матрицы Паскаля (знаки некоторых столбцов могут быть отрицательными). Эта матрица является своей собственной обратной, то есть pascal (n, 1) ^ 2 == eye (n).

Если t = -1, возвращается истинная факторизация Холески со строго положительными значениями на диагонали.

Если t = 2, возвращается транспонированная и переупорядоченная версия pascal (n, 1), которая является кубическим корнем единичной матрицы. То есть, pascal (n, 2) ^ 3 == eye (n).

См. также: chol.

: R = rosser () ¶

Возвращает матрицу Россера.

Это сложный тестовый случай, используемый для оценки алгоритмов вычисления собственных значений.

См. также: wilkinson, eig.

: T = toeplitz (c) ¶

: T = toeplitz (c, r) ¶

Возвращает матрицу Тоэплица, построенную из первого столбца c и, необязательно, первой строки r.

Если второй аргумент опущен, первая строка принимается равной первому столбцу. Если первый элемент r не совпадает с первым элементом c, используется первый элемент c.

Матрица Тоэплица, или матрица с постоянными по диагоналям элементами, имеет одинаковое значение по каждой диагонали. Хотя она необязательно квадратная, часто является таковой. MxN матрица Тоэплица имеет вид:

c(1)  r(2)   r(3)  …  r(n)
c(2)  c(1)   r(2)  … r(n-1)
c(3)  c(2)   c(1)  … r(n-2)
 .     .      .   .      .
 .     .      .     .    .
 .     .      .       .  .
c(m) c(m-1) c(m-2) … c(m-n+1)

См. также: hankel.

: V = vander (c) ¶

: V = vander (c, n) ¶

Возвращает матрицу Вандермонда, у которой предпоследний столбец равен c.

Если n указан, он определяет количество столбцов; в противном случае n принимается равным длине c.

Матрица Вандермонда имеет вид:

c(1)^(n-1) … c(1)^2  c(1)  1
c(2)^(n-1) … c(2)^2  c(2)  1
    .     .      .      .    .
    .       .    .      .    .
    .         .  .      .    .
c(n)^(n-1) … c(n)^2  c(n)  1

См. также: polyfit.

: W = wilkinson (n) ¶

Возвращает матрицу Уилкинсона порядка n.

Матрицы Уилкинсона являются симметричными и треугольными с парами почти, но не точно, равных собственных значений. Они полезны для тестирования поведения и производительности решателей собственных значений.

См. также: rosser, eig.