16.4 Известные матрицы

Следующие функции возвращают матрицы известных видов.

: gallery (name)

: gallery (name, args)

Создать интересные матрицы для тестирования.

: c = gallery ("cauchy", x)

: c = gallery ("cauchy", x, y)

Создать матрицу Коши.

: c = gallery ("chebspec", n)

: c = gallery ("chebspec", n, k)

Создать спектральную матрицу дифференцирования Чебышёва.

: c = gallery ("chebvand", p)

: c = gallery ("chebvand", m, p)

Создать матрицу типа Вандермонда для полиномов Чебышёва.

: a = gallery ("chow", n)

: a = gallery ("chow", n, alpha)

: a = gallery ("chow", n, alpha, delta)

Создать матрицу Чоу — вырожденную нижнюю матрицу Тёплица типа Хессенберга.

: c = gallery ("circul", v)

Создать циркулянтную матрицу.

: a = gallery ("clement", n)

: a = gallery ("clement", n, k)

Создать трёхдиагональную матрицу с нулевыми диагональными элементами.

: c = gallery ("compar", a)

: c = gallery ("compar", a, k)

Создать матрицу сравнения.

: a = gallery ("condex", n)

: a = gallery ("condex", n, k)

: a = gallery ("condex", n, k, theta)

Создать матрицу-контрпример для оценки обусловленности.

: a = gallery ("cycol", [m n])

: a = gallery ("cycol", n)

: a = gallery (…, k)

Создать матрицу с циклически повторяющимися столбцами.

: [c, d, e] = gallery ("dorr", n)

: [c, d, e] = gallery ("dorr", n, theta)

: a = gallery ("dorr", …)

Создать диагонально доминирующую плохо обусловленную трёхдиагональную матрицу.

: a = gallery ("dramadah", n)

: a = gallery ("dramadah", n, k)

Создать матрицу из нулей и единиц, обратная матрица которой содержит большие целые числа.

: a = gallery ("fiedler", c)

Создать симметричную матрицу Фидлера.

: a = gallery ("forsythe", n)

: a = gallery ("forsythe", n, alpha)

: a = gallery ("forsythe", n, alpha, lambda)

Создать матрицу Форсайта (возмущённый блок Жордана).

: f = gallery ("frank", n)

: f = gallery ("frank", n, k)

Создать матрицу Франка (плохо обусловленные собственные значения).

: c = gallery ("gcdmat", n)

Создать матрицу наибольшего общего делителя.

c — матрица размера n на n, значения которой соответствуют наибольшему общему делителю координат, то есть c(i,j) соответствует gcd (i, j).

: a = gallery ("gearmat", n)

: a = gallery ("gearmat", n, i)

: a = gallery ("gearmat", n, i, j)

Создать матрицу Гира.

: g = gallery ("grcar", n)

: g = gallery ("grcar", n, k)

Создать матрицу Тёплица с чувствительными собственными значениями.

: a = gallery ("hanowa", n)

: a = gallery ("hanowa", n, d)

Создать матрицу, собственные значения которой лежат на вертикальной прямой комплексной плоскости.

: v = gallery ("house", x)

: [v, beta] = gallery ("house", x)

Создать матрицу Хаусхолдера.

: a = gallery ("integerdata", imax, [M N …], j)

: a = gallery ("integerdata", imax, M, N, …, j)

: a = gallery ("integerdata", [imin, imax], [M N …], j)

: a = gallery ("integerdata", [imin, imax], M, N, …, j)

: a = gallery ("integerdata", …, "class")

Создать матрицу со случайными целыми числами в диапазоне [1, imax]. Если задано imin, числа будут находиться в диапазоне [imin, imax].

Второй входной аргумент — матрица размеров, задающая размер выходного результата. Размеры также можно передать в виде аргументов, разделённых запятыми.

Входной аргумент j — целочисленный индекс в диапазоне [0, 2^32-1]. Значения выходной матрицы всегда в точности одинаковы (воспроизводимы) для заданных размера и индекса j.

Последний необязательный аргумент задаёт класс результирующей матрицы. Возможные значения для class: "uint8", "uint16", "uint32", "int8", "int16", int32", "single", "double". Значение по умолчанию — "double".

: a = gallery ("invhess", x)

: a = gallery ("invhess", x, y)

Создать обратную матрицу верхней матрицы типа Хессенберга.

: a = gallery ("invol", n)

Создать инволютивную матрицу.

: a = gallery ("ipjfact", n)

: a = gallery ("ipjfact", n, k)

Создать матрицу Ханкеля с факториальными элементами.

: a = gallery ("jordbloc", n)

: a = gallery ("jordbloc", n, lambda)

Создать блок Жордана.

: u = gallery ("kahan", n)

: u = gallery ("kahan", n, theta)

: u = gallery ("kahan", n, theta, pert)

Создать матрицу Кахана (верхнюю трапецеидальную).

: a = gallery ("kms", n)

: a = gallery ("kms", n, rho)

Создать матрицу Тёплица Каца—Мердока—Сего.

: b = gallery ("krylov", a)

: b = gallery ("krylov", a, x)

: b = gallery ("krylov", a, x, j)

Создать матрицу Крылова.

: a = gallery ("lauchli", n)

: a = gallery ("lauchli", n, mu)

Создать матрицу Лаухли (прямоугольную).

: a = gallery ("lehmer", n)

Создать матрицу Лемера (симметричную положительно определённую).

: t = gallery ("lesp", n)

Создать трёхдиагональную матрицу с вещественными чувствительными собственными значениями.

: a = gallery ("lotkin", n)

Создать матрицу Лоткина.

: a = gallery ("minij", n)

Создать симметричную положительно определённую матрицу MIN(i,j).

: a = gallery ("moler", n)

: a = gallery ("moler", n, alpha)

Создать матрицу Молера (симметричную положительно определённую).

: [a, t] = gallery ("neumann", n)

Создать вырожденную матрицу дискретной задачи Неймана (разреженную).

: a = gallery ("normaldata", [M N …], j)

: a = gallery ("normaldata", M, N, …, j)

: a = gallery ("normaldata", …, "class")

Создать матрицу со случайными выборками из стандартного нормального распределения (среднее = 0, стандартное отклонение = 1).

Первый входной аргумент — матрица размеров, задающая размер выходного результата. Размеры также можно передать в виде аргументов, разделённых запятыми.

Входной аргумент j — целочисленный индекс в диапазоне [0, 2^32-1]. Значения выходной матрицы всегда в точности одинаковы (воспроизводимы) для заданных размера и индекса j.

Последний необязательный аргумент задаёт класс результирующей матрицы. Возможные значения для class: "single", "double". Значение по умолчанию — "double".

: q = gallery ("orthog", n)

: q = gallery ("orthog", n, k)

Создать ортогональные и почти ортогональные матрицы.

: a = gallery ("parter", n)

Создать матрицу Партера (матрицу Тёплица с сингулярными числами, близкими к pi).

: p = gallery ("pei", n)

: p = gallery ("pei", n, alpha)

Создать матрицу Пея.

: a = gallery ("poisson", n)

Создать блочно-трёхдиагональную матрицу из уравнения Пуассона (разреженную).

: a = gallery ("prolate", n)

: a = gallery ("prolate", n, w)

Создать пролатную матрицу (симметричную плохо обусловленную матрицу Тёплица).

: h = gallery ("randhess", x)

Создать случайную ортогональную верхнюю матрицу типа Хессенберга.

: a = gallery ("rando", n)

: a = gallery ("rando", n, k)

Создать случайную матрицу с элементами -1, 0 или 1.

: a = gallery ("randsvd", n)

: a = gallery ("randsvd", n, kappa)

: a = gallery ("randsvd", n, kappa, mode)

: a = gallery ("randsvd", n, kappa, mode, kl)

: a = gallery ("randsvd", n, kappa, mode, kl, ku)

Создать случайную матрицу с заранее заданными сингулярными числами.

: a = gallery ("redheff", n)

Создать матрицу из нулей и единиц Редхеффера, связанную с гипотезой Римана.

: a = gallery ("riemann", n)

Создать матрицу, связанную с гипотезой Римана.

: a = gallery ("ris", n)

Создать симметричную матрицу Ханкеля.

: a = gallery ("smoke", n)

: a = gallery ("smoke", n, k)

Создать комплексную матрицу с псевдоспектром в форме «дымового кольца».

: t = gallery ("toeppd", n)

: t = gallery ("toeppd", n, m)

: t = gallery ("toeppd", n, m, w)

: t = gallery ("toeppd", n, m, w, theta)

Создать симметричную положительно определённую матрицу Тёплица.

: p = gallery ("toeppen", n)

: p = gallery ("toeppen", n, a)

: p = gallery ("toeppen", n, a, b)

: p = gallery ("toeppen", n, a, b, c)

: p = gallery ("toeppen", n, a, b, c, d)

: p = gallery ("toeppen", n, a, b, c, d, e)

Создать пятидиагональную матрицу Тёплица (разреженную).

: a = gallery ("tridiag", x, y, z)

: a = gallery ("tridiag", n)

: a = gallery ("tridiag", n, c, d, e)

Создать трёхдиагональную матрицу (разреженную).

: t = gallery ("triw", n)

: t = gallery ("triw", n, alpha)

: t = gallery ("triw", n, alpha, k)

Создать верхнюю треугольную матрицу, рассмотренную Каханом, Голубом и Уилкинсоном.

: a = gallery ("uniformdata", [M N …], j)

: a = gallery ("uniformdata", M, N, …, j)

: a = gallery ("uniformdata", …, "class")

Создать матрицу со случайными выборками из стандартного равномерного распределения (диапазон [0,1]).

Первый входной аргумент — матрица размеров, задающая размер выходного результата. Размеры также можно передать в виде аргументов, разделённых запятыми.

Входной аргумент j — целочисленный индекс в диапазоне [0, 2^32-1]. Значения выходной матрицы всегда в точности одинаковы (воспроизводимы) для заданных размера и индекса j.

Последний необязательный аргумент задаёт класс результирующей матрицы. Возможные значения для class: "single", "double". Значение по умолчанию — "double".

: a = gallery ("wathen", nx, ny)

: a = gallery ("wathen", nx, ny, k)

Создать матрицу Уотена.

: [a, b] = gallery ("wilk", n)

Создать различные специальные матрицы, предложенные или рассмотренные Уилкинсоном.

: h = hadamard (n)

Построить матрицу Адамара (Hn) размера n-на-n.

Размер n должен иметь вид 2^k * p, где p равно 1, 12, 20 или 28. Возвращаемая матрица нормирована, то есть Hn(:,1) == 1 и Hn(1,:) == 1.

Некоторые свойства матриц Адамара:

• kron (Hm, Hn) является матрицей Адамара размера m-на-n.
• Hn * Hn' = n * eye (n).
• Строки Hn ортогональны.
• det (A) <= abs (det (Hn)) для всех A, таких что abs (A(i, j)) <= 1.
• При умножении любой строки или столбца на -1 матрица остается матрицей Адамара.

См. также: compan, hankel, toeplitz.

: h = hankel (c)

: h = hankel (c, r)

Вернуть матрицу Ганкеля, построенную по первому столбцу c и (необязательно) последней строке r.

Если последний элемент c не совпадает с первым элементом r, используется последний элемент c. Если второй аргумент не указан, считается, что это вектор нулей того же размера, что и c.

Матрица Ганкеля, построенная по m-мерному вектору c и n-мерному вектору r, имеет элементы

H(i,j) = c(i+j-1),  i+j-1 <= m;
H(i,j) = r(i+j-m),  otherwise

См. также: hadamard, toeplitz.

: h = hilb (n)

Вернуть матрицу Гильберта порядка n.

Элемент i,j матрицы Гильберта определяется как

H(i, j) = 1 / (i + j - 1)

Матрицы Гильберта близки к вырожденным, поэтому их трудно обратить с помощью численных методов. Сравнение числа обусловленности случайной матрицы 5x5 с числом обусловленности матрицы Гильберта порядка 5 показывает, насколько сложна эта задача.

cond (rand (5))
   ⇒ 14.392
cond (hilb (5))
   ⇒ 4.7661e+05

См. также: invhilb.

: hinv = invhilb (n)

Вернуть обратную матрицу Гильберта порядка n.

Ее можно вычислить точно с помощью

(i+j)         /n+i-1\  /n+j-1\   /i+j-2\ 2
A(i,j) = -1      (i+j-1)(       )(       ) (       )
                         \ n-j /  \ n-i /   \ i-2 /

       = p(i) p(j) / (i+j-1)

где

k  /k+n-1\   /n\
p(k) = -1  (       ) (   )
            \ k-1 /   \k/

Корректность этой формулы легко проверить, разложив биномиальные коэффициенты в обеих формулах в факториалы. Ее можно получить более прямым путем, используя теорию матриц Коши. См. J. W. Demmel, Прикладная численная линейная алгебра, с. 92.

Сравните это с численным вычислением inv (hilb (n)), которое страдает от плохой обусловленности матрицы Гильберта и ограниченной точности арифметики с плавающей запятой на вашем компьютере.

См. также: hilb.

: M = magic (n)

Создать магический квадрат размером n-на-n.

Магический квадрат — это расположение целых чисел 1:n^2, при котором суммы элементов каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали равны одному и тому же значению.

Примечание: n должно быть скалярным значением, большим или равным 3. Если указать n меньше 3, magic вернет либо немагический квадрат, либо вырожденный магический квадрат 1 или [].

: P = pascal (n)

: P = pascal (n, t)

Вернуть матрицу Паскаля порядка n, если t = 0.

Значение t по умолчанию равно 0.

Если t = 1, вернуть псевдонижний треугольный множитель Холецкого матрицы Паскаля (знаки некоторых столбцов могут быть отрицательными). Эта матрица является обратной самой себе, то есть pascal (n, 1) ^ 2 == eye (n).

Если t = -1, вернуть настоящий множитель Холецкого со строго положительными значениями на диагонали.

Если t = 2, вернуть транспонированную и переставленную версию pascal (n, 1), являющуюся кубическим корнем из единичной матрицы. То есть pascal (n, 2) ^ 3 == eye (n).

См. также: chol.

: R = rosser ()

Вернуть матрицу Россера.

Это сложный тестовый пример, используемый для оценки алгоритмов вычисления собственных значений.

См. также: wilkinson, eig.

: T = toeplitz (c)

: T = toeplitz (c, r)

Вернуть матрицу Тёплица, построенную по первому столбцу c и, необязательно, первой строке r.

Если второй аргумент не указан, первая строка совпадает с первым столбцом. Если первый элемент r не совпадает с первым элементом c, используется первый элемент c.

Матрица Тёплица, или матрица с постоянными диагоналями, имеет одинаковые значения вдоль каждой диагонали. Она не обязательно должна быть квадратной, хотя часто так и бывает. Матрица Тёплица размера MxN имеет вид:

c(1)  r(2)   r(3)  ...  r(n)
c(2)  c(1)   r(2)  ... r(n-1)
c(3)  c(2)   c(1)  ... r(n-2)
 .     .      .   .      .
 .     .      .     .    .
 .     .      .       .  .
c(m) c(m-1) c(m-2) ... c(m-n+1)

См. также: hankel.

: V = vander (c)

: V = vander (c, n)

Вернуть матрицу Вандермонда, предпоследний столбец которой равен c.

Если задано n, оно определяет число столбцов; в противном случае n считается равным длине c.

Матрица Вандермонда имеет вид:

c(1)^(n-1) ... c(1)^2  c(1)  1
c(2)^(n-1) ... c(2)^2  c(2)  1
    .     .      .      .    .
    .       .    .      .    .
    .         .  .      .    .
c(n)^(n-1) ... c(n)^2  c(n)  1

См. также: polyfit.

: W = wilkinson (n)

Вернуть матрицу Уилкинсона порядка n.

Матрицы Уилкинсона симметричны и трехдиагональны; их собственные значения образуют пары почти, но не в точности равных значений. Они полезны для проверки поведения и производительности алгоритмов поиска собственных значений.

См. также: rosser, eig.