28.2 Нахождение корней

Octave может находить корни заданного многочлена. Для этого вычисляется сопровождающая матрица многочлена (определение см. в функции compan), а затем находятся её собственные значения.

: r = roots (c)

Вычислить корни многочлена c.

Для вектора c с N компонентами вернуть корни многочлена

c(1) * x^(N-1) + ... + c(N-1) * x + c(N)

Например, следующий код находит корни квадратного многочлена

p(x) = x^2 - 5.

c = [1, 0, -5];
roots (c)
⇒  2.2361
⇒ -2.2361

Обратите внимание, что точный результат — +/- sqrt(5), что приблизительно равно +/- 2.2361.

См. также: poly, compan, fzero.

: z = polyeig (C0, C1, …, Cl)

: [v, z] = polyeig (C0, C1, …, Cl)

Решить полиномиальную задачу на собственные значения степени l.

Для матричного многочлена размера nxn

C(s) = C0 + C1 s + … + Cl s^l

polyeig решает задачу на собственные значения

(C0 + C1 z + … + Cl z^l) v = 0.

Обратите внимание, что собственные значения z являются нулями матричного многочлена. z — это вектор-строка с n*l элементами. v — это матрица (n x n*l), столбцы которой соответствуют собственным векторам.

См. также: eig, eigs, compan.

: A = compan (c)

Вычислить сопровождающую матрицу, соответствующую вектору коэффициентов многочлена c.

Сопровождающая матрица имеет вид

_                                                        _
    |  -c(2)/c(1)   -c(3)/c(1)  ...  -c(N)/c(1)  -c(N+1)/c(1)  |
    |       1            0      ...       0             0      |
    |       0            1      ...       0             0      |
A = |       .            .      .         .             .      |
    |       .            .       .        .             .      |
    |       .            .        .       .             .      |
    |_      0            0      ...       1             0     _|

Собственные значения сопровождающей матрицы равны корням многочлена.

См. также: roots, poly, eig.

: [multp, idxp] = mpoles (p)

: [multp, idxp] = mpoles (p, tol)

: [multp, idxp] = mpoles (p, tol, reorder)

Определить уникальные полюса в p и соответствующие им кратности.

По умолчанию выходные данные упорядочены от полюса с наибольшим модулем к полюсу с наименьшим модулем.

Два полюса считаются кратными, если разность между ними меньше относительного допуска tol.

abs (p1 - p0) / abs (p0) < tol

Если полюс равен 0, масштабирование не выполняется, а tol интерпретируется как абсолютный допуск. Значение tol по умолчанию равно 0.001.

Если необязательный параметр reorder имеет значение false/zero, полюса не сортируются.

Выходные данные multp — это вектор, задающий кратности полюсов. multp(n) обозначает кратность N-го полюса p(idxp(n)).

Например:

p = [2 3 1 1 2];
[m, n] = mpoles (p)
   ⇒ m = [1; 1; 2; 1; 2]
   ⇒ n = [2; 5; 1; 4; 3]
   ⇒ p(n) = [3, 2, 2, 1, 1]

См. также: residue, poly, roots, conv, deconv.