28.3 Произведения полиномов

: y = conv (a, b)

: y = conv (a, b, shape)

Вычисляет свёртку двух векторов a и b.

Если a и b — векторы коэффициентов двух полиномов, свёртка представляет собой вектор коэффициентов произведения этих полиномов.

Размер результата определяется необязательным аргументом shape, который может принимать следующие значения:

shape = "full"

Возвращает полную свёртку. (По умолчанию.) Результат представляет собой вектор длины length (a) + length (b) - 1.

shape = "same"

Возвращает центральную часть свёртки того же размера, что и a.

shape = "valid"

Возвращает только части, не содержащие краёв, дополненных нулями. Размер результата — max (size (a) - size (b) + 1, 0).

См. также: deconv, conv2, convn, fftconv.

: C = convn (A, B)

: C = convn (A, B, shape)

Возвращает n-мерную свёртку A и B.

Размер результата определяется необязательным аргументом shape, который может принимать следующие значения:

shape = "full"

Возвращает полную свёртку. (По умолчанию.)

shape = "same"

Возвращает центральную часть свёртки того же размера, что и A. Центральная часть свёртки начинается с индексов floor ([size(B)/2] + 1).

shape = "valid"

Возвращает только части, не содержащие краёв, дополненных нулями. Размер результата — max (size (A) - size (B) + 1, 0).

См. также: conv2, conv.

: b = deconv (y, a)

: [b, r] = deconv (y, a)

Вычисляет деконволюцию двух векторов (деление полиномов).

[b, r] = deconv (y, a) находит b и r такие, что y = conv (a, b) + r.

Если y и a — векторы коэффициентов полиномов, b будет содержать коэффициенты частного полиномов, а r — остаточный полином наименьшего порядка.

См. также: conv, residue.

: C = conv2 (A, B)

: C = conv2 (v1, v2, m)

: C = conv2 (…, shape)

Возвращает двумерную свёртку A и B.

Размер результата определяется необязательным аргументом shape, который может принимать следующие значения:

shape = "full"

Возвращает полную свёртку. (По умолчанию.)

shape = "same"

Возвращает центральную часть свёртки того же размера, что и A. Центральная часть свёртки начинается с индексов floor ([size(B)/2] + 1).

shape = "valid"

Возвращает только части, не содержащие краёв, дополненных нулями. Размер результата — max (size (A) - size (B) + 1, 0).

Если третий аргумент является матрицей, возвращает свёртку матрицы m с вектором v1 в направлении столбцов и с вектором v2 в направлении строк.

См. также: conv, convn.

: q = polygcd (b, a)

: q = polygcd (b, a, tol)

Находит наибольший общий делитель двух полиномов.

Это эквивалентно полиному, полученному перемножением всех общих корней. Вместе с deconv эту функцию можно использовать для сокращения отношения двух полиномов.

Допуск tol по умолчанию равен sqrt (eps).

Внимание: этот алгоритм численно неустойчив, поэтому его не следует применять к полиномам высокой степени.

Пример кода:

polygcd (poly (1:8), poly (3:12)) - poly (3:8)
⇒ [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]
deconv (poly (1:8), polygcd (poly (1:8), poly (3:12))) - poly (1:2)
⇒ [ 0, 0, 0 ]

См. также: poly, roots, conv, deconv, residue.

: [r, p, k, e] = residue (b, a)

: [b, a] = residue (r, p, k)

: [b, a] = residue (r, p, k, e)

Первая форма вызова вычисляет разложение на простые дроби частного полиномов b и a.

Частное определяется следующим образом:

B(s)    M       r(m)        N
---- = SUM ------------- + SUM k(i)*s^(N-i)
A(s)   m=1 (s-p(m))^e(m)   i=1

где M — число полюсов (длина векторов r, p и e), вектор k — полином порядка N-1, представляющий прямую составляющую, а вектор e задаёт кратность полюса m-го вычета.

Например,

b = [1, 1, 1];
a = [1, -5, 8, -4];
[r, p, k, e] = residue (b, a)
   ⇒ r = [-2; 7; 3]
   ⇒ p = [2; 2; 1]
   ⇒ k = [](0x0)
   ⇒ e = [1; 2; 1]

что представляет собой следующее разложение на простые дроби:

s^2 + s + 1       -2        7        3
   ------------------- = ----- + ------- + -----
   s^3 - 5s^2 + 8s - 4   (s-2)   (s-2)^2   (s-1)

Вторая форма вызова выполняет обратную операцию и вычисляет восстановленное частное полиномов b(s)/a(s) по разложению на простые дроби; оно задаётся вычетами, полюсами и прямым полиномом, определёнными r, p и k, а также кратностью полюсов e.

Если кратность e явно не указана, она определяется функцией mpoles.

Например:

r = [-2; 7; 3];
p = [2; 2; 1];
k = [1, 0];
[b, a] = residue (r, p, k)
   ⇒ b = [1, -5, 9, -3, 1]
   ⇒ a = [1, -5, 8, -4]

where mpoles is used to determine e = [1; 2; 1]

Кроме того, кратность можно задать явно, например:

r = [7; 3; -2];
p = [2; 1; 2];
k = [1, 0];
e = [2; 1; 1];
[b, a] = residue (r, p, k, e)
   ⇒ b = [1, -5, 9, -3, 1]
   ⇒ a = [1, -5, 8, -4]

что представляет собой следующее разложение на простые дроби:

-2        7        3         s^4 - 5s^3 + 9s^2 - 3s + 1
----- + ------- + ----- + s = --------------------------
(s-2)   (s-2)^2   (s-1)          s^3 - 5s^2 + 8s - 4

См. также: mpoles, poly, roots, conv, deconv.