18.4 Функции матрицы

: r = expm (A)

Возвращает экспоненту матрицы.

Матричная экспонента определяется бесконечным рядом Тейлора

expm (A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + ...

Однако ряд Тейлора — это не способ вычисления матричной экспоненты; см. Moler и Van Loan, Девятнадцать сомнительных способов вычисления экспоненты матрицы, SIAM Review, 1978. В этой процедуре используется диагональный метод аппроксимации Паде Уорда с предварительной обработкой в три этапа (SIAM Journal on Numerical Analysis, 1977). Диагональные аппроксимации Паде представляют собой рациональные полиномы от матриц

-1
D (A)   N (A)

ряд Тейлора которых совпадает с первыми 2q+1 членами приведенного выше ряда Тейлора; прямое вычисление ряда Тейлора (с теми же этапами предварительной обработки) может быть предпочтительнее аппроксимации Паде, если Dq(A) плохо обусловлена.

См. также: logm, sqrtm.

: s = logm (A)

: s = logm (A, opt_iters)

: [s, iters] = logm (…)

Вычисляет матричный логарифм квадратной матрицы A.

В реализации используется аппроксимант Паде и тождество

logm (A) = 2^k * logm (A^(1 / 2^k))

Необязательный входной аргумент opt_iters задает максимальное количество вычисляемых квадратных корней; по умолчанию он равен 100.

Необязательный выходной аргумент iters задает количество фактически вычисленных квадратных корней.

См. также: expm, sqrtm.

: s = sqrtm (A)

: [s, error_estimate] = sqrtm (A)

Вычисляет матричный квадратный корень квадратной матрицы A.

См.: N.J. Higham. Новая функция sqrtm для MATLAB. Отчет по численному анализу № 336, Манчестерский центр вычислительной математики, Манчестер, Англия, январь 1999 г.

См. также: expm, logm.

: C = kron (A, B)

: C = kron (A1, A2, …)

Формирует произведение Кронекера двух или более матриц.

Оно определяется поблочно следующим образом:

c = [ a(i,j)*b ]

Например:

kron (1:4, ones (3, 1))
     ⇒  1  2  3  4
         1  2  3  4
         1  2  3  4

Если входных аргументов A1, A2, …, An больше двух, произведение Кронекера вычисляется следующим образом:

kron (kron (A1, A2), ..., An)

Поскольку произведение Кронекера ассоциативно, это определение корректно.

См. также: tensorprod.

: C = tensorprod (A, B, dimA, dimB)

: C = tensorprod (A, B, dim)

: C = tensorprod (A, B)

: C = tensorprod (A, B, "all")

: C = tensorprod (A, B, …, "NumDimensionsA", value)

Вычисляет тензорное произведение числовых тензоров A и B.

Свертываемые измерения A и B задаются соответственно аргументами dimA и dimB. dimA и dimB — скаляры или векторы одинаковой длины, определяющие соответствующие друг другу измерения. Соответствующие измерения A и B должны содержать одинаковое количество элементов.

Если используется только dim, это эквивалентно dimA = dimB = dim.

Если измерения не указаны, dimA = dimB = []. В результате вычисляется внешнее произведение A и B.

Использование параметра "all" приводит к вычислению внутреннего произведения A и B. Для этого требуется size (A) == size (B).

Используйте пару «свойство-значение» со свойством "NumDimensionsA", если у A имеются завершающие измерения единичной длины, которые нужно перенести в C. Указанное value должно соответствовать общему количеству измерений A.

Совместимость с MATLAB: в настоящее время Octave не поддерживает синтаксис "property_name=value" для параметра "NumDimensionsA".

См. также: kron, dot, mtimes.

: C = blkmm (A, B)

Вычисляет произведения блоков матриц.

Блоки представлены двумерными подмассивами массивов A, B. Размер A должен иметь вид [m,k,…], а размер B должен быть [k,n,…]. Тогда результат имеет размер [m,n,…] и вычисляется следующим образом:

for i = 1:prod (size (A)(3:end))
  C(:,:,i) = A(:,:,i) * B(:,:,i)
endfor

: X = sylvester (A, B, C)

Решает уравнение Сильвестра.

Уравнение Сильвестра определяется следующим образом:

A X + X B = C

Решение вычисляется с помощью стандартных подпрограмм LAPACK.

Например:

sylvester ([1, 2; 3, 4], [5, 6; 7, 8], [9, 10; 11, 12])
   ⇒ [ 0.50000, 0.66667; 0.66667, 0.50000 ]