18.4 Функции матрицы ¶

: r = expm (A) ¶

Возвращает экспоненту матрицы.

Матричная экспонента определяется как бесконечный ряд Тейлора

expm (A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + ...

Однако, ряд Тейлора не является способом вычисления матричной экспоненты; см. Moler и Van Loan, Девятнадцать сомнительных способов вычисления экспоненты матрицы, SIAM Review, 1978. Эта процедура использует метод диагонального приближения Паде с трехступенчатым предварительным кондиционированием (SIAM Journal on Numerical Analysis, 1977). Диагональные приближения Паде представляют собой рациональные полиномы матриц

-1
D (A)   N (A)

с рядом Тейлора, совпадающим с первыми 2q+1 членами ряда Тейлора выше; прямая оценка ряда Тейлора (с теми же шагами предварительного кондиционирования) может быть желательна вместо приближения Паде, когда Dq(A) является плохо обусловленной.

См. также: logm, sqrtm.

: s = logm (A) ¶

: s = logm (A, opt_iters) ¶

: [s, iters] = logm (…) ¶

Вычислить матричный логарифм квадратной матрицы A.

Реализация использует приближение Паде и тождество

logm (A) = 2^k * logm (A^(1 / 2^k))

Необязательный ввод opt_iters — максимальное число квадратных корней для вычисления, по умолчанию 100.

Необязательный вывод iters — фактическое количество вычисленных квадратных корней.

См. также: expm, sqrtm.

: s = sqrtm (A) ¶

: [s, error_estimate] = sqrtm (A) ¶

Вычислить матричный квадратный корень квадратной матрицы A.

Ссылка: N.J. Higham. Новый sqrtm для MATLAB. Отчет по численному анализу № 336, Манчестерский центр вычислительной математики, Манчестер, Англия, январь 1999.

См. также: expm, logm.

: C = kron (A, B) ¶

: C = kron (A1, A2, …) ¶

Формирует кронекерово произведение двух или более матриц.

Это определяется по блокам как

c = [ a(i,j)*b ]

Например:

kron (1:4, ones (3, 1))
     ⇒  1  2  3  4
         1  2  3  4
         1  2  3  4

Если есть более двух входных аргументов A1, A2, …, An, кронекерово произведение вычисляется как

kron (kron (A1, A2), ..., An)

Поскольку кронекерово произведение ассоциативно, это определено однозначно.

См. также: tensorprod.

: C = tensorprod (A, B, dimA, dimB) ¶

: C = tensorprod (A, B, dim) ¶

: C = tensorprod (A, B) ¶

: C = tensorprod (A, B, "all") ¶

: C = tensorprod (A, B, …, "NumDimensionsA", value) ¶

Вычислить тензорное произведение между числовыми тензорами A и B.

Размеры A и B, которые сокращаются, определяются dimA и dimB соответственно. dimA и dimB являются скалярами или векторами одинаковой длины, которые определяют размеры для сопоставления. Сопоставляемые размеры A и B должны иметь одинаковое количество элементов.

Когда используется только dim, это эквивалентно dimA = dimB = dim.

Когда не указаны никакие размеры, dimA = dimB = []. Это вычисляет внешнее произведение между A и B.

Использование параметра "all" приводит к внутреннему произведению между A и B. Это требует size (A) == size (B).

Используйте пару свойство-значение со именем свойства "NumDimensionsA", когда у A есть хвостовые одиночные размеры, которые должны быть переданы в C. Указанное значение value должно быть общим количеством измерений A.

MATLAB Совместимость: Octave в настоящее время не поддерживает синтаксис "property_name=value" для параметра "NumDimensionsA".

См. также: kron, dot, mtimes.

: C = blkmm (A, B) ¶

Вычислить произведения блоков матриц.

Блоки задаются как двумерные подмассивы массивов A, B. Размер A должен иметь вид [m,k,…] а размер B должен быть [k,n,…]. Результат затем имеет размер [m,n,…] и вычисляется следующим образом:

for i = 1:prod (size (A)(3:end))
  C(:,:,i) = A(:,:,i) * B(:,:,i)
endfor

: X = sylvester (A, B, C) ¶

Решить уравнение Сильвестра.

Уравнение Сильвестра определяется как:

A X + X B = C

Решение вычисляется с использованием стандартных подпрограмм LAPACK.

Например:

sylvester ([1, 2; 3, 4], [5, 6; 7, 8], [9, 10; 11, 12])
   ⇒ [ 0.50000, 0.66667; 0.66667, 0.50000 ]