statistics — Функции математической статистики

Средние значения и меры центрального положения

Эти функции вычисляют среднее или типичное значение для совокупности или выборки.

Меры разброса

Эти функции вычисляют меру того, насколько совокупность или выборка отклоняется от типичных или средних значений.

Статистика взаимосвязей между двумя наборами данных

Эти функции вычисляют статистические показатели взаимосвязей между двумя наборами данных.

Подробное описание функций

Примечание: функции не требуют, чтобы передаваемые им данные были отсортированы. Однако для удобства чтения в большинстве примеров показаны отсортированные последовательности.

statistics.mean(data)

Возвращает среднее арифметическое выборки data, которая может быть последовательностью или итерируемым объектом.

Среднее арифметическое — это сумма данных, делённая на количество точек данных. Его обычно называют «средним», хотя это лишь один из множества различных математических видов среднего. Это мера центрального положения данных.

Если data пусто, будет вызвано исключение StatisticsError.

Примеры использования:

>>> mean([1, 2, 3, 4, 4])
2.8
>>> mean([-1.0, 2.5, 3.25, 5.75])
2.625

>>> from fractions import Fraction as F
>>> mean([F(3, 7), F(1, 21), F(5, 3), F(1, 3)])
Fraction(13, 21)

>>> from decimal import Decimal as D
>>> mean([D("0.5"), D("0.75"), D("0.625"), D("0.375")])
Decimal('0.5625')

Примечание

На среднее сильно влияют выбросы, поэтому оно не обязательно является типичным примером точек данных. Более устойчивую, хотя и менее эффективную, меру центральной тенденции см. в описании median().

Среднее выборки даёт несмещённую оценку истинного среднего генеральной совокупности, поэтому при усреднении по всем возможным выборкам mean(sample) сходится к истинному среднему всей генеральной совокупности. Если data представляет всю генеральную совокупность, а не выборку, то mean(data) эквивалентно вычислению истинного среднего генеральной совокупности μ.

statistics.fmean(data, weights=None)

Преобразует data в числа с плавающей точкой и вычисляет среднее арифметическое.

Эта функция выполняется быстрее, чем mean(), и всегда возвращает значение типа float. data может быть последовательностью или итерируемым объектом. Если входной набор данных пуст, вызывается исключение StatisticsError.

>>> fmean([3.5, 4.0, 5.25])
4.25

Поддерживаются необязательные веса. Например, преподаватель выставляет итоговую оценку за курс, присваивая тестам вес 20%, домашним заданиям — 20%, промежуточному экзамену — 30%, а итоговому экзамену — 30%:

>>> grades = [85, 92, 83, 91]
>>> weights = [0.20, 0.20, 0.30, 0.30]
>>> fmean(grades, weights)
87.6

Если задан параметр weights, его длина должна совпадать с длиной data, иначе будет вызвано исключение ValueError.

Добавлено в версии 3.8.

Изменено в версии 3.11: Добавлена поддержка параметра weights.

statistics.geometric_mean(data)

Преобразует data в числа с плавающей точкой и вычисляет среднее геометрическое.

Среднее геометрическое показывает центральную тенденцию или типичное значение data, используя произведение значений (в отличие от среднего арифметического, в котором используется их сумма).

Вызывает исключение StatisticsError, если входной набор данных пуст, содержит ноль или отрицательное значение. data может быть последовательностью или итерируемым объектом.

Специальных мер для достижения точных результатов не принимается. (Однако в будущем это может измениться.)

>>> round(geometric_mean([54, 24, 36]), 1)
36.0

Добавлено в версии 3.8.

statistics.harmonic_mean(data, weights=None)

Возвращает среднее гармоническое значений data — последовательности или итерируемого объекта с действительными числами. Если параметр weights не задан или равен None, предполагается, что все значения имеют одинаковый вес.

Среднее гармоническое — это величина, обратная среднему арифметическому mean() обратных величин данных. Например, среднее гармоническое трёх значений a, b и c эквивалентно 3/(1/a + 1/b + 1/c). Если одно из значений равно нулю, результат также будет равен нулю.

Среднее гармоническое — это разновидность среднего, мера центрального положения данных. Оно часто подходит для усреднения отношений или скоростей, например скоростей движения.

Предположим, автомобиль проезжает 10 км со скоростью 40 км/ч, а затем ещё 10 км со скоростью 60 км/ч. Какова средняя скорость?

>>> harmonic_mean([40, 60])
48.0

Предположим, автомобиль проезжает 5 км со скоростью 40 км/ч, а когда движение становится свободнее, увеличивает скорость до 60 км/ч и проезжает так оставшиеся 30 км пути. Какова средняя скорость?

>>> harmonic_mean([40, 60], weights=[5, 30])
56.0

Исключение StatisticsError вызывается, если data пусто, какой-либо элемент меньше нуля или взвешенная сумма не является положительной.

В текущем алгоритме предусмотрен ранний выход при обнаружении нуля во входных данных. Это означает, что последующие входные значения не проверяются на допустимость. (В будущем такое поведение может измениться.)

Добавлено в версии 3.6.

Изменено в версии 3.10: Добавлена поддержка параметра weights.

statistics.kde(data, h, kernel='normal', *, cumulative=False)

Оценка плотности ядра (KDE): создаёт непрерывную функцию плотности вероятности или функцию распределения по дискретным выборкам.

Основная идея состоит в сглаживании данных с помощью функции ядра, чтобы делать выводы о генеральной совокупности на основе выборки.

Степень сглаживания определяется параметром масштабирования h, который называется шириной полосы. Меньшие значения подчёркивают локальные особенности, а большие дают более гладкие результаты.

Параметр kernel определяет относительные веса точек выборки. Как правило, выбор формы ядра не так важен, как более влиятельный параметр сглаживания — ширина полосы.

К ядрам, которые придают некоторый вес каждой точке выборки, относятся normal (gauss), logistic и sigmoid.

К ядрам, которые придают вес только точкам выборки в пределах ширины полосы, относятся rectangular (uniform), triangular, parabolic (epanechnikov), quartic (biweight), triweight и cosine.

Если cumulative имеет значение true, возвращается функция распределения.

Если последовательность data пуста, будет вызвано исключение StatisticsError.

В Википедии приведён пример, в котором можно использовать kde() для построения функции плотности вероятности, оценённой по небольшой выборке:

>>> sample = [-2.1, -1.3, -0.4, 1.9, 5.1, 6.2]
>>> f_hat = kde(sample, h=1.5)
>>> xarr = [i/100 for i in range(-750, 1100)]
>>> yarr = [f_hat(x) for x in xarr]

Точки в xarr и yarr можно использовать для построения графика PDF:

Добавлено в версии 3.13.

statistics.kde_random(data, h, kernel='normal', *, seed=None)

Возвращает функцию, которая выполняет случайный выбор из оценённой функции плотности вероятности, созданной с помощью kde(data, h, kernel).

Параметр seed позволяет получать воспроизводимые выборки. В будущем значения могут немного измениться по мере внедрения более точных оценок обратной функции распределения ядра. Значением seed может быть целое число, число с плавающей точкой, строка или байтовая строка.

Если последовательность data пуста, будет вызвано исключение StatisticsError.

Продолжая пример с kde(), можно использовать kde_random() для получения новых случайных выборок из оценённой функции плотности вероятности:

>>> data = [-2.1, -1.3, -0.4, 1.9, 5.1, 6.2]
>>> rand = kde_random(data, h=1.5, seed=8675309)
>>> new_selections = [rand() for i in range(10)]
>>> [round(x, 1) for x in new_selections]
[0.7, 6.2, 1.2, 6.9, 7.0, 1.8, 2.5, -0.5, -1.8, 5.6]

Добавлено в версии 3.13.

statistics.median(data)

Возвращает медиану (среднее значение) числовых данных, используя распространённый метод «среднего двух центральных значений». Если data пусто, вызывается исключение StatisticsError. data может быть последовательностью или итерируемым объектом.

Медиана — это устойчивая мера центрального положения, на которую меньше влияют выбросы. Если количество точек данных нечётное, возвращается центральная точка данных:

>>> median([1, 3, 5])
3

Если количество точек данных чётное, медиана вычисляется интерполяцией — берётся среднее двух центральных значений:

>>> median([1, 3, 5, 7])
4.0

Этот способ подходит для дискретных данных, если допустимо, что медиана может не совпадать с фактической точкой данных.

Если данные порядковые (поддерживают операции сравнения), но не числовые (не поддерживают сложение), рассмотрите возможность использовать вместо этого median_low() или median_high().

statistics.median_low(data)

Возвращает нижнюю медиану числовых данных. Если data пусто, вызывается исключение StatisticsError. data может быть последовательностью или итерируемым объектом.

Нижняя медиана всегда является элементом набора данных. Если количество точек данных нечётное, возвращается центральное значение. Если оно чётное, возвращается меньшее из двух центральных значений.

>>> median_low([1, 3, 5])
3
>>> median_low([1, 3, 5, 7])
3

Используйте нижнюю медиану для дискретных данных, если вы предпочитаете, чтобы медиана была фактической точкой данных, а не интерполированным значением.

statistics.median_high(data)

Возвращает верхнюю медиану данных. Если data пусто, вызывается исключение StatisticsError. data может быть последовательностью или итерируемым объектом.

Верхняя медиана всегда является элементом набора данных. Если количество точек данных нечётное, возвращается центральное значение. Если оно чётное, возвращается большее из двух центральных значений.

>>> median_high([1, 3, 5])
3
>>> median_high([1, 3, 5, 7])
5

Используйте верхнюю медиану для дискретных данных, если вы предпочитаете, чтобы медиана была фактической точкой данных, а не интерполированным значением.

statistics.median_grouped(data, interval=1.0)

Оценивает медиану числовых данных, сгруппированных или разбитых на интервалы вокруг середин последовательных интервалов фиксированной ширины.

data может быть любым итерируемым объектом с числовыми данными, где каждое значение точно совпадает с серединой интервала. Должно быть задано хотя бы одно значение.

interval — это ширина каждого интервала.

Например, демографические данные могут быть сведены в последовательные возрастные группы по десять лет, каждая из которых представлена серединой интервала с точностью до пяти лет:

>>> from collections import Counter
>>> demographics = Counter({
...    25: 172,   # 20 to 30 years old
...    35: 484,   # 30 to 40 years old
...    45: 387,   # 40 to 50 years old
...    55:  22,   # 50 to 60 years old
...    65:   6,   # 60 to 70 years old
... })
...

50-й процентиль (медиана) — это 536-й человек в группе из 1071 человека. Этот человек относится к возрастной группе от 30 до 40 лет.

Обычная функция median() предполагала бы, что всем участникам тридцатилетней возрастной группы ровно 35 лет. Более обоснованное предположение состоит в том, что 484 участника этой возрастной группы равномерно распределены в диапазоне от 30 до 40 лет. Для этого используется median_grouped():

>>> data = list(demographics.elements())
>>> median(data)
35
>>> round(median_grouped(data, interval=10), 1)
37.5

Вызывающий код отвечает за то, чтобы точки данных были разделены точными кратными значения interval. Это необходимо для получения правильного результата. Функция не проверяет выполнение этого предварительного условия.

В качестве входных данных можно использовать любой числовой тип, который можно преобразовать в число с плавающей точкой на этапе интерполяции.

statistics.mode(data)

Возвращает наиболее часто встречающуюся точку дискретных или номинальных данных data. Мода (если она существует) — наиболее типичное значение и служит мерой центрального положения.

Если несколько мод имеют одинаковую частоту, возвращается первая из них, встреченная в data. Если вместо этого требуется наименьшая или наибольшая из них, используйте min(multimode(data)) или max(multimode(data)). Если входные данные data пусты, вызывается исключение StatisticsError.

mode предполагает, что данные дискретны, и возвращает одно значение. Это стандартное понимание моды, обычно преподаваемое в школах:

>>> mode([1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4])
3

Мода уникальна тем, что это единственная статистическая характеристика в этом пакете, применимая также к номинальным (нечисловым) данным:

>>> mode(["red", "blue", "blue", "red", "green", "red", "red"])
'red'

Поддерживаются только хешируемые входные значения. Для обработки типа set рассмотрите возможность преобразования в frozenset. Для обработки типа list рассмотрите возможность преобразования в tuple. Для смешанных или вложенных входных данных рассмотрите возможность использования этого более медленного квадратичного алгоритма, который использует только проверки на равенство: max(data, key=data.count).

Изменено в версии 3.8: Теперь для мультимодальных наборов данных возвращается первая встреченная мода. Ранее при обнаружении нескольких мод вызывалось исключение StatisticsError.

statistics.multimode(data)

Возвращает список наиболее часто встречающихся значений в порядке их первого появления в data. Если есть несколько мод, возвращается несколько значений; если data пусто, возвращается пустой список:

>>> multimode('aabbbbccddddeeffffgg')
['b', 'd', 'f']
>>> multimode('')
[]

Добавлено в версии 3.8.

statistics.pstdev(data, mu=None)

Возвращает стандартное отклонение генеральной совокупности (квадратный корень из дисперсии генеральной совокупности). Аргументы и другие сведения см. в описании pvariance().

>>> pstdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
0.986893273527251

statistics.pvariance(data, mu=None)

Возвращает дисперсию генеральной совокупности для data — непустой последовательности или итерируемого объекта с действительными числами. Дисперсия, или второй центральный момент относительно среднего, является мерой изменчивости (разброса или рассеяния) данных. Большая дисперсия указывает на широкий разброс данных; малая — на то, что данные сгруппированы близко к среднему.

Если задан необязательный второй аргумент mu, он должен быть средним значением генеральной совокупности для data. Его также можно использовать для вычисления второго момента относительно точки, не совпадающей со средним. Если аргумент не задан или равен None (значение по умолчанию), среднее арифметическое вычисляется автоматически.

Используйте эту функцию для вычисления дисперсии всей генеральной совокупности. Для оценки дисперсии по выборке обычно лучше подходит функция variance().

Если data пусто, вызывается исключение StatisticsError.

Примеры:

>>> data = [0.0, 0.25, 0.25, 1.25, 1.5, 1.75, 2.75, 3.25]
>>> pvariance(data)
1.25

Если среднее значение данных уже вычислено, его можно передать как необязательный второй аргумент mu, чтобы избежать повторного вычисления:

>>> mu = mean(data)
>>> pvariance(data, mu)
1.25

Поддерживаются значения Decimal и Fraction:

>>> from decimal import Decimal as D
>>> pvariance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
Decimal('24.815')

>>> from fractions import Fraction as F
>>> pvariance([F(1, 4), F(5, 4), F(1, 2)])
Fraction(13, 72)

Примечание

При вызове для всей генеральной совокупности функция возвращает дисперсию генеральной совокупности σ². При вызове для выборки она возвращает смещённую выборочную дисперсию s², также известную как дисперсия с N степенями свободы.

Если вам каким-либо образом известно истинное среднее генеральной совокупности μ, эту функцию можно использовать для вычисления дисперсии выборки, передав известное среднее генеральной совокупности в качестве второго аргумента. Если точки данных являются случайной выборкой из генеральной совокупности, результат будет несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности.

statistics.stdev(data, xbar=None)

Возвращает стандартное отклонение выборки (квадратный корень из выборочной дисперсии). Аргументы и другие сведения см. в описании variance().

>>> stdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
1.0810874155219827

statistics.variance(data, xbar=None)

Возвращает выборочную дисперсию для data — итерируемого объекта как минимум с двумя действительными числами. Дисперсия, или второй центральный момент относительно среднего, является мерой изменчивости (разброса или рассеяния) данных. Большая дисперсия указывает на широкий разброс данных; малая — на то, что данные сгруппированы близко к среднему.

Если задан необязательный второй аргумент xbar, он должен быть средним значением выборки для data. Если аргумент не задан или равен None (значение по умолчанию), среднее вычисляется автоматически.

Используйте эту функцию, если данные являются выборкой из генеральной совокупности. Для вычисления дисперсии всей генеральной совокупности см. pvariance().

Если в data меньше двух значений, вызывается исключение StatisticsError.

Примеры:

>>> data = [2.75, 1.75, 1.25, 0.25, 0.5, 1.25, 3.5]
>>> variance(data)
1.3720238095238095

Если среднее значение выборки уже вычислено, его можно передать как необязательный второй аргумент xbar, чтобы избежать повторного вычисления:

>>> m = mean(data)
>>> variance(data, m)
1.3720238095238095

Эта функция не пытается проверить, передали ли вы в качестве xbar фактическое среднее значение. Использование произвольных значений для xbar может привести к недопустимым или невозможным результатам.

Поддерживаются значения Decimal и Fraction:

>>> from decimal import Decimal as D
>>> variance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
Decimal('31.01875')

>>> from fractions import Fraction as F
>>> variance([F(1, 6), F(1, 2), F(5, 3)])
Fraction(67, 108)

Примечание

Это выборочная дисперсия s² с поправкой Бесселя, также известная как дисперсия с N-1 степенями свободы. Если точки данных репрезентативны (например, независимы и одинаково распределены), результат должен быть несмещённой оценкой истинной дисперсии генеральной совокупности.

Если вам каким-либо образом известно фактическое среднее генеральной совокупности μ, передайте его функции pvariance() в качестве параметра mu, чтобы получить дисперсию выборки.

statistics.quantiles(data, *, n=4, method='exclusive')

Разбивает data на n непрерывных интервалов с равными вероятностями. Возвращает список из n - 1 точек разделения интервалов.

Задайте n равным 4 для квартилей (значение по умолчанию), 10 — для децилей и 100 — для процентилей. В последнем случае возвращаются 99 точек разделения, которые делят data на 100 групп одинакового размера. Если n меньше 1, вызывается исключение StatisticsError.

data может быть любым итерируемым объектом, содержащим выборочные данные. Для получения осмысленных результатов количество точек данных в data должно быть больше n. Если отсутствует хотя бы одна точка данных, вызывается исключение StatisticsError.

Точки разделения вычисляются линейной интерполяцией между двумя ближайшими точками данных. Например, если точка разделения находится на расстоянии одной трети между двумя выборочными значениями, 100 и 112, её значение будет равно 104.

Метод вычисления квантилей можно выбрать в зависимости от того, включают ли данные data наименьшие и наибольшие возможные значения генеральной совокупности.

По умолчанию используется метод exclusive. Он подходит для данных, выбранных из генеральной совокупности, в которой могут встречаться более экстремальные значения, чем в выборке. Доля генеральной совокупности, лежащая ниже i-й из m отсортированных точек данных, вычисляется как i / (m + 1). Для девяти выборочных значений метод сортирует их и назначает следующие процентили: 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%.

Метод inclusive используется для описания данных генеральной совокупности или выборок, которые, как известно, включают наиболее экстремальные значения генеральной совокупности. Минимальное значение в data считается 0-м процентилем, а максимальное — 100-м процентилем. Доля генеральной совокупности, лежащая ниже i-й из m отсортированных точек данных, вычисляется как (i - 1) / (m - 1). Для 11 выборочных значений метод сортирует их и назначает следующие процентили: 0%, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 100%.

# Decile cut points for empirically sampled data
>>> data = [105, 129, 87, 86, 111, 111, 89, 81, 108, 92, 110,
...         100, 75, 105, 103, 109, 76, 119, 99, 91, 103, 129,
...         106, 101, 84, 111, 74, 87, 86, 103, 103, 106, 86,
...         111, 75, 87, 102, 121, 111, 88, 89, 101, 106, 95,
...         103, 107, 101, 81, 109, 104]
>>> [round(q, 1) for q in quantiles(data, n=10)]
[81.0, 86.2, 89.0, 99.4, 102.5, 103.6, 106.0, 109.8, 111.0]

Добавлено в версии 3.8.

Изменено в версии 3.13: Больше не вызывает исключение для входных данных, содержащих только одну точку. Это позволяет накапливать оценки квантилей по одной точке выборки за раз, постепенно уточняя их с добавлением каждой новой точки.

statistics.covariance(x, y, /)

Возвращает выборочную ковариацию двух входных наборов данных x и y. Ковариация — это мера совместной изменчивости двух наборов данных.

Оба набора данных должны иметь одинаковую длину (не менее двух элементов), иначе вызывается исключение StatisticsError.

Примеры:

>>> x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
>>> y = [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]
>>> covariance(x, y)
0.75
>>> z = [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
>>> covariance(x, z)
-7.5
>>> covariance(z, x)
-7.5

Добавлено в версии 3.10.

statistics.correlation(x, y, /, *, method='linear')

Возвращает коэффициент корреляции Пирсона для двух входных наборов данных. Коэффициент корреляции Пирсона r принимает значения от -1 до +1. Он измеряет силу и направление линейной связи.

Если method равен «ranked», вычисляется ранговый коэффициент корреляции Спирмена для двух входных наборов данных. Данные заменяются рангами. Совпадающим значениям присваивается средний ранг. Полученный коэффициент измеряет силу монотонной связи.

Коэффициент корреляции Спирмена подходит для порядковых данных или непрерывных данных, не удовлетворяющих требованию линейной пропорциональности для коэффициента корреляции Пирсона.

Оба набора данных должны иметь одинаковую длину (не менее двух элементов) и не должны быть константами, иначе вызывается исключение StatisticsError.

Пример с использованием законов движения планет Кеплера:

>>> # Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, and  Neptune
>>> orbital_period = [88, 225, 365, 687, 4331, 10_756, 30_687, 60_190]    # days
>>> dist_from_sun = [58, 108, 150, 228, 778, 1_400, 2_900, 4_500] # million km

>>> # Show that a perfect monotonic relationship exists
>>> correlation(orbital_period, dist_from_sun, method='ranked')
1.0

>>> # Observe that a linear relationship is imperfect
>>> round(correlation(orbital_period, dist_from_sun), 4)
0.9882

>>> # Demonstrate Kepler's third law: There is a linear correlation
>>> # between the square of the orbital period and the cube of the
>>> # distance from the sun.
>>> period_squared = [p * p for p in orbital_period]
>>> dist_cubed = [d * d * d for d in dist_from_sun]
>>> round(correlation(period_squared, dist_cubed), 4)
1.0

Добавлено в версии 3.10.

Изменено в версии 3.12: Добавлена поддержка рангового коэффициента корреляции Спирмена.

statistics.linear_regression(x, y, /, *, proportional=False)

Возвращает наклон и точку пересечения параметров простой линейной регрессии, оценённых методом наименьших квадратов. Простая линейная регрессия описывает связь между независимой переменной x и зависимой переменной y с помощью следующей линейной функции:

y = slope * x + intercept + noise

где slope и intercept — оцениваемые параметры регрессии, а noise представляет изменчивость данных, не объяснённую линейной регрессией (она равна разности между предсказанными и фактическими значениями зависимой переменной).

Оба набора данных должны иметь одинаковую длину (не менее двух элементов), а независимая переменная x не может быть константой; в противном случае вызывается исключение StatisticsError.

Например, можно использовать даты выхода фильмов «Монти Пайтон», чтобы предсказать общее количество фильмов «Монти Пайтон», выпущенных к 2019 году, если предположить, что темп их выпуска оставался неизменным.

>>> year = [1971, 1975, 1979, 1982, 1983]
>>> films_total = [1, 2, 3, 4, 5]
>>> slope, intercept = linear_regression(year, films_total)
>>> round(slope * 2019 + intercept)
16

Если proportional имеет значение true, предполагается, что независимая переменная x и зависимая переменная y прямо пропорциональны. Данные аппроксимируются прямой, проходящей через начало координат. Поскольку intercept всегда будет равен 0.0, лежащая в основе линейная функция упрощается до следующего вида:

y = slope * x + noise

Продолжая пример из раздела correlation(), проверим, насколько хорошо модель, основанная на больших планетах, предсказывает орбитальные расстояния карликовых планет:

>>> model = linear_regression(period_squared, dist_cubed, proportional=True)
>>> slope = model.slope

>>> # Dwarf planets:   Pluto,  Eris,    Makemake, Haumea, Ceres
>>> orbital_periods = [90_560, 204_199, 111_845, 103_410, 1_680]  # days
>>> predicted_dist = [math.cbrt(slope * (p * p)) for p in orbital_periods]
>>> list(map(round, predicted_dist))
[5912, 10166, 6806, 6459, 414]

>>> [5_906, 10_152, 6_796, 6_450, 414]  # actual distance in million km
[5906, 10152, 6796, 6450, 414]

Добавлено в версии 3.10.

Изменено в версии 3.11: Добавлена поддержка параметра proportional.

Исключения

Определено одно исключение:

exception statistics.StatisticsError

Подкласс ValueError для исключений, связанных со статистикой.

Объекты NormalDist

NormalDist — это инструмент для создания и обработки нормальных распределений случайной величины. Это класс, который рассматривает среднее значение и стандартное отклонение измерений данных как единую сущность.

Нормальные распределения возникают в результате действия центральной предельной теоремы и широко применяются в статистике.

class statistics.NormalDist(mu=0.0, sigma=1.0)

Возвращает новый объект NormalDist, в котором mu представляет среднее арифметическое, а sigma представляет стандартное отклонение.

Если sigma отрицательно, вызывается исключение StatisticsError.

mean

Свойство только для чтения, содержащее среднее арифметическое нормального распределения.

median

Свойство только для чтения, содержащее медиану нормального распределения.

mode

Свойство только для чтения, содержащее моду нормального распределения.

stdev

Свойство только для чтения, содержащее стандартное отклонение нормального распределения.

variance

Свойство только для чтения, содержащее дисперсию нормального распределения. Равна квадрату стандартного отклонения.

classmethod from_samples(data)

Создает экземпляр нормального распределения с параметрами mu и sigma, оцененными по data с помощью fmean() и stdev().

data может быть любым итерируемым объектом и должен содержать значения, которые можно преобразовать в тип float. Если data содержит менее двух элементов, вызывается исключение StatisticsError, поскольку для оценки центрального значения требуется как минимум одна точка, а для оценки разброса — как минимум две.

samples(n, *, seed=None)

Генерирует n случайных выборок для заданного среднего значения и стандартного отклонения. Возвращает list значений типа float.

Если задано значение seed, создает новый экземпляр базового генератора случайных чисел. Это полезно для получения воспроизводимых результатов, в том числе в многопоточном контексте.

Изменено в версии 3.13.

Используется более быстрый алгоритм. Чтобы воспроизвести выборки из предыдущих версий, используйте random.seed() и random.gauss().

pdf(x)

Вычисляет относительную вероятность того, что случайная величина X окажется вблизи заданного значения x, используя функцию плотности вероятности (pdf). Математически это предел отношения P(x <= X < x+dx) / dx при стремлении dx к нулю.

Относительная вероятность вычисляется как вероятность попадания выборки в узкий интервал, деленная на ширину этого интервала (отсюда и слово «плотность»). Поскольку вероятность относительна по отношению к другим точкам, ее значение может быть больше 1.0.

cdf(x)

Вычисляет вероятность того, что случайная величина X будет меньше или равна x, используя функцию распределения (cdf). Математически это записывается как P(X <= x).

inv_cdf(p)

Вычисляет обратную функцию распределения, также известную как квантильная функция или функция процентной точки. Математически это записывается как x : P(X <= x) = p.

Находит значение x случайной величины X, при котором вероятность того, что величина будет меньше или равна этому значению, равна заданной вероятности p.

overlap(other)

Измеряет степень совпадения двух нормальных распределений вероятностей. Возвращает значение от 0.0 до 1.0, соответствующее площади перекрытия двух функций плотности вероятности.

quantiles(n=4)

Разбивает нормальное распределение на n непрерывных интервалов с одинаковой вероятностью. Возвращает список из (n - 1) граничных точек, разделяющих интервалы.

Задайте n равным 4 для квартилей (значение по умолчанию). Задайте n равным 10 для децилей. Задайте n равным 100 для процентилей, чтобы получить 99 граничных точек, разделяющих нормальное распределение на 100 групп одинакового размера.

zscore(x)

Вычисляет стандартную оценку, описывающую x через число стандартных отклонений выше или ниже среднего значения нормального распределения: (x - mean) / stdev.

Добавлено в версии 3.9.

Экземпляры NormalDist поддерживают сложение, вычитание, умножение и деление на константу. Эти операции используются для сдвига и масштабирования. Например:

>>> temperature_february = NormalDist(5, 2.5)             # Celsius
>>> temperature_february * (9/5) + 32                     # Fahrenheit
NormalDist(mu=41.0, sigma=4.5)

Деление константы на экземпляр NormalDist не поддерживается, поскольку результат не будет иметь нормального распределения.

Поскольку нормальные распределения возникают в результате сложения независимых величин, можно складывать и вычитать две независимые случайные величины с нормальным распределением, представленные экземплярами NormalDist. Например:

>>> birth_weights = NormalDist.from_samples([2.5, 3.1, 2.1, 2.4, 2.7, 3.5])
>>> drug_effects = NormalDist(0.4, 0.15)
>>> combined = birth_weights + drug_effects
>>> round(combined.mean, 1)
3.1
>>> round(combined.stdev, 1)
0.5

Добавлено в версии 3.8.

Примеры и рецепты

>>> sat = NormalDist(1060, 195)
>>> fraction = sat.cdf(1200 + 0.5) - sat.cdf(1100 - 0.5)
>>> round(fraction * 100.0, 1)
18.4

>>> list(map(round, sat.quantiles()))
[928, 1060, 1192]
>>> list(map(round, sat.quantiles(n=10)))
[810, 896, 958, 1011, 1060, 1109, 1162, 1224, 1310]

>>> def model(x, y, z):
...     return (3*x + 7*x*y - 5*y) / (11 * z)
...
>>> n = 100_000
>>> X = NormalDist(10, 2.5).samples(n, seed=3652260728)
>>> Y = NormalDist(15, 1.75).samples(n, seed=4582495471)
>>> Z = NormalDist(50, 1.25).samples(n, seed=6582483453)
>>> quantiles(map(model, X, Y, Z))
[1.4591308524824727, 1.8035946855390597, 2.175091447274739]

>>> n = 750             # Sample size
>>> p = 0.65            # Preference for Python
>>> q = 1.0 - p         # Preference for Ruby
>>> k = 500             # Room capacity

>>> # Approximation using the cumulative normal distribution
>>> from math import sqrt
>>> round(NormalDist(mu=n*p, sigma=sqrt(n*p*q)).cdf(k + 0.5), 4)
0.8402

>>> # Exact solution using the cumulative binomial distribution
>>> from math import comb, fsum
>>> round(fsum(comb(n, r) * p**r * q**(n-r) for r in range(k+1)), 4)
0.8402

>>> # Approximation using a simulation
>>> from random import seed, binomialvariate
>>> seed(8675309)
>>> mean(binomialvariate(n, p) <= k for i in range(10_000))
0.8406

>>> height_male = NormalDist.from_samples([6, 5.92, 5.58, 5.92])
>>> height_female = NormalDist.from_samples([5, 5.5, 5.42, 5.75])
>>> weight_male = NormalDist.from_samples([180, 190, 170, 165])
>>> weight_female = NormalDist.from_samples([100, 150, 130, 150])
>>> foot_size_male = NormalDist.from_samples([12, 11, 12, 10])
>>> foot_size_female = NormalDist.from_samples([6, 8, 7, 9])

>>> ht = 6.0        # height
>>> wt = 130        # weight
>>> fs = 8          # foot size

>>> prior_male = 0.5
>>> prior_female = 0.5
>>> posterior_male = (prior_male * height_male.pdf(ht) *
...                   weight_male.pdf(wt) * foot_size_male.pdf(fs))

>>> posterior_female = (prior_female * height_female.pdf(ht) *
...                     weight_female.pdf(wt) * foot_size_female.pdf(fs))

>>> 'male' if posterior_male > posterior_female else 'female'
'female'