Eigen::JacobiSVD

template<typename _MatrixType, int QRPreconditioner>
class Eigen::JacobiSVD< _MatrixType, QRPreconditioner >

Двустороннее разложение Якоби SVD прямоугольной матрицы.

Параметры шаблона

_MatrixType	тип матрицы, для которой вычисляется разложение SVD
QRPreconditioner	Этот необязательный параметр позволяет указать тип QR-разложения, который будет использоваться внутри для шага R-SVD для неквадратных матриц. См. обсуждение возможных значений ниже.

Разложение SVD заключается в разложении любой n×p матрицы A как произведения

\[ A = U S V^* \]

где U — унитарная n×n, V — унитарная p×p, и S — действительная положительная n×p матрица, которая равна нулю вне главной диагонали; диагональные элементы S известны как сингулярные значения A, а столбцы U и V известны как левые и правые сингулярные векторы A соответственно.

Сингулярные значения всегда отсортированы в порядке убывания.

Это разложение JacobiSVD по умолчанию вычисляет только сингулярные значения. Если вам нужны U или V, вам нужно запросить их явно.

Вы можете запросить вычисление только усечённого U или V, что означает следующее. В случае прямоугольной n×p матрицы, пусть m — меньшее значение из n и p, тогда существует только m сингулярных векторов; оставшиеся столбцы U и V не соответствуют фактическим сингулярным векторам. Запрос усечённого U или V означает запрос только их первых m столбцов. Таким образом, U — это n×m матрица, а V — p×m матрица. Обратите внимание, что усечённые U и V — всё, что вам нужно для решения (методом наименьших квадратов).

Вот пример, демонстрирующий базовое использование:

MatrixXf m = MatrixXf::Random(3,2);
cout << "Here is the matrix m:" << endl << m << endl;
JacobiSVD<MatrixXf> svd(m, ComputeThinU | ComputeThinV);
cout << "Its singular values are:" << endl << svd.singularValues() << endl;
cout << "Its left singular vectors are the columns of the thin U matrix:" << endl << svd.matrixU() << endl;
cout << "Its right singular vectors are the columns of the thin V matrix:" << endl << svd.matrixV() << endl;
Vector3f rhs(1, 0, 0);
cout << "Now consider this rhs vector:" << endl << rhs << endl;
cout << "A least-squares solution of m*x = rhs is:" << endl << svd.solve(rhs) << endl;

Вывод:

Here is the matrix m:
  0.68  0.597
-0.211  0.823
 0.566 -0.605
Its singular values are:
 1.19
0.899
Its left singular vectors are the columns of the thin U matrix:
  0.388   0.866
  0.712 -0.0634
 -0.586   0.496
Its right singular vectors are the columns of the thin V matrix:
-0.183  0.983
 0.983  0.183
Now consider this rhs vector:
1
0
0
A least-squares solution of m*x = rhs is:
0.888
0.496

Этот класс JacobiSVD представляет собой двустороннее разложение Якоби R-SVD, обеспечивающее оптимальную надёжность и точность. Недостаток заключается в том, что оно медленнее, чем алгоритмы SVD с бидиагонализацией для больших квадратных матриц; однако его сложность по-прежнему \( O(n^2p) \), где n — меньшая размерность, а p — большая размерность, что означает, что оно имеет тот же порядок сложности, что и более быстрые алгоритмы R-SVD с бидиагонализацией. В частности, как и любое R-SVD, оно использует неквадратность, в результате чего его сложность линейно зависит только от большей размерности.

Если входная матрица имеет коэффициенты inf или nan, результат вычисления не определён, но вычисление гарантированно завершится за конечное (и разумное) время.

Возможные значения для QRPreconditioner:

• ColPivHouseholderQRPreconditioner — по умолчанию. На практике он очень надёжен. Он использует QR с выбором столбцов.
• FullPivHouseholderQRPreconditioner — самый надёжный и самый медленный. Он использует полный выбор столбцов в QR. В отличие от других QR, он не позволяет вычислять усечённые унитарные матрицы.
• HouseholderQRPreconditioner — самый быстрый, но менее надёжный и точный, чем варианты с выбором столбцов. Он использует QR без выбора столбцов. Это очень похоже по надёжности и точности на процесс бидиагонализации, используемый алгоритмами SVD с бидиагонализацией (поскольку бидиагонализация по своей природе не использует выбор столбцов). Однако полученное разложение SVD всё ещё более надёжно, чем SVD с бидиагонализацией, потому что процесс итераций Якоби более надёжен, чем оптимизированные итерации SVD с бидиагонализацией.
• NoQRPreconditioner — вообще не использовать QR-предварительную обработку. Это полезно, если вы знаете, что будете вычислять разложения JacobiSVD только для квадратных матриц. Для неквадратных матриц необходима QR-предварительная обработка. Использование этого варианта ускорит компиляцию и уменьшит размер исполняемого файла. Это не значительно ускорит вычисления, так как JacobiSVD всегда проверяет, нужна ли QR-предварительная обработка, прежде чем применять её.

См. также

MatrixBase::jacobiSvd()