Преобразование Фурье (numpy.fft)

Модуль SciPy scipy.fft является более полным набором, чем numpy.fft, который включает только базовый набор процедур.

Стандартные преобразования Фурье

Преобразования Фурье для вещественных данных

Преобразования Фурье для эрмитовых сигналов

Вспомогательные функции

Общие сведения

Анализ Фурье — это метод представления функции как суммы периодических составляющих и восстановления функции по этим составляющим. При дискретизации функции и ее преобразования Фурье, получается дискретное преобразование Фурье (ДПФ). ДПФ стало основой числовых вычислений, благодаря быстрому алгоритму его вычисления, называемому быстрым преобразованием Фурье (БПФ), которое было известно Гауссу (1805) и было освещено Кули и Такье [CT]. Пресс и др. [NR] предлагают доступное введение в анализ Фурье и его приложения.

Поскольку дискретное преобразование Фурье разделяет вход на составляющие, которые вносят вклад на дискретных частотах, оно имеет множество применений в цифровой обработке сигналов, например, для фильтрации, и в этом контексте дискретизированный вход в преобразование обычно называют сигналом, который существует во временной области. Выход называется спектром или преобразованием и существует в частотной области.

Детали реализации

Существует много способов определения ДПФ, отличающихся знаком экспоненты, нормировкой и т.д. В этой реализации ДПФ определяется как

ДПФ в общем случае определяется для комплексных входных и выходных данных, и отдельная составляющая с линейной частотой \(f\) представляется комплексной экспонентой \(a_m = \exp\{2\pi i\,f m\Delta t\}\), где \(\Delta t\) — интервал дискретизации.

Значения в результате следуют так называемому «стандартному» порядку: Если A = fft(a, n), то A[0] содержит нулевую частоту (сумму сигнала), которая всегда чисто вещественная для вещественных входных данных. Затем A[1:n/2] содержит положительные частоты, а A[n/2+1:] содержит отрицательные частоты в порядке убывания отрицательных частот. Для чётного числа входных точек A[n/2] представляет и положительную, и отрицательную частоту Найквиста, и также является чисто вещественной для вещественного входа. Для нечётного числа входных точек A[(n-1)/2] содержит наибольшую положительную частоту, а A[(n+1)/2] содержит наибольшую отрицательную частоту. Функция np.fft.fftfreq(n) возвращает массив, дающий частоты соответствующих элементов на выходе. Функция np.fft.fftshift(A) сдвигает преобразования и их частоты, помещая нулевые компоненты частоты в середину, а np.fft.ifftshift(A) отменяет этот сдвиг.

Когда вход a является сигналом во временной области и A = fft(a), np.abs(A) — его амплитудный спектр, а np.abs(A)**2 — его энергетический спектр. Спектр фаз получается с помощью np.angle(A).

Обратное ДПФ определяется как

Отличается от прямого преобразования знаком аргумента экспоненты и нормализующим множителем по умолчанию \(1/n\).

Преобразование типов

numpy.fft преобразует float32 и complex64 массивы соответственно в массивы float64 и complex128 . Для реализации БПФ, которая не преобразует входные массивы, см. scipy.fftpack.

Нормализация

Аргумент norm указывает, какое направление пары прямых/обратных преобразований масштабируется и с каким множителем нормализации. По умолчанию ("backward") прямые (прямые) преобразования не масштабируются, а обратные (обратные) преобразования масштабируются на \(1/n\). Можно получить унитарные преобразования, установив ключевой аргумент norm в значение "ortho", так что и прямые, и обратные преобразования масштабируются на \(1/\sqrt{n}\). Наконец, установив ключевой аргумент norm в значение "forward", прямые преобразования масштабируются на \(1/n\), а обратные преобразования не масштабируются (т. е. точно противоположно значению по умолчанию "backward"). None — псевдоним значения по умолчанию "backward" для обратной совместимости.

Преобразования для вещественных и эрмитовых сигналов

Когда входной сигнал является чисто вещественным, его преобразование является эрмитовым, т.е. компонент на частоте \(f_k\) является комплексно сопряжённым компоненту на частоте \(-f_k\), что означает, что для вещественных входных данных нет информации в компонентах отрицательных частот, которая не была бы уже доступна из компонентов положительных частот. Семейство функций rfft предназначено для работы с вещественными входными данными и использует эту симметрию, вычисляя только компоненты положительных частот, вплоть до и включая частоту Найквиста. Таким образом, n входных точек дают n/2+1 комплексных выходных точек. Обратные функции этого семейства предполагают ту же симметрию своего входа, и для выходных данных из n точек используется n/2+1 входных точек.

Соответственно, когда спектр чисто вещественный, сигнал является эрмитовым. Семейство функций hfft использует эту симметрию, используя n/2+1 комплексных точек во входном (временном) домене для n вещественных точек в частотной области.

В многомерных случаях FFT используются, например, для анализа изображений и фильтрации. Вычислительная эффективность FFT означает, что она также может быть более быстрым способом вычисления больших сверток, используя свойство, что свёртка во временной области эквивалентна точечному умножению в частотной области.

Многомерные случаи

В двумерном случае ДПФ определяется как

что очевидным образом обобщается на многомерные случаи, и обратные преобразования в многомерных случаях также обобщаются аналогичным образом.

Ссылки

CT

Cooley, James W., and John W. Tukey, 1965, “An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series,” Math. Comput. 19: 297-301.

NR

Press, W., Teukolsky, S., Vetterline, W.T., and Flannery, B.P., 2007, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ch. 12-13. Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK.

Примеры

Примеры см. в различных функциях.