17.6 Специальные функции

: a = airy (z) ¶

: a = airy (k, z) ¶

: a = airy (k, z, scale) ¶

: [a, ierr] = airy (…) ¶

Вычисление функций Эйри первого и второго рода, и их производных.

K   Function   Scale factor (if scale is true)
---  --------   ---------------------------------------
 0   Ai (Z)     exp ((2/3) * Z * sqrt (Z))
 1   dAi(Z)/dZ  exp ((2/3) * Z * sqrt (Z))
 2   Bi (Z)     exp (-abs (real ((2/3) * Z * sqrt (Z))))
 3   dBi(Z)/dZ  exp (-abs (real ((2/3) * Z * sqrt (Z))))

Вызов функции airy (z) эквивалентен airy (0, z).

Необязательный третий параметр scale определяет, применять ли масштабирование, как описано выше. По умолчанию он равен false.

Результат a имеет тот же размер, что и z.

Необязательный выходной параметр ierr содержит следующую информацию о состоянии и имеет тот же размер, что и результат.

0. Нормальное возвращение.
1. Ошибка входных данных, вернуть NaN.
2. Переполнение, вернуть Inf.
3. Потеря значимости при сокращении аргументов приводит к менее чем половине точности машины.
4. Потеря значимости при сокращении аргументов, вывод может быть неточным.
5. Ошибка — вычисления не выполнены, условие завершения алгоритма не выполнено, вернуть NaN.

: J = besselj (alpha, x) ¶

: J = besselj (alpha, x, opt) ¶

: [J, ierr] = besselj (…) ¶

Вычисление функций Бесселя первого рода.

Порядок функции Бесселя alpha должен быть вещественным. Точки для оценки x могут быть комплексными.

Если необязательный параметр opt равен 1 или true, результат J умножается на exp (-abs (imag (x))).

Если alpha является скаляром, результат имеет тот же размер, что и x. Если x является скаляром, результат имеет тот же размер, что и alpha. Если alpha является строкой-вектором, а x — столбцом-вектором, результат — матрица с length (x) строками и length (alpha) столбцами. В противном случае alpha и x должны быть согласованы, и результат будет того же размера.

Если запрошено, ierr содержит следующую информацию о состоянии и имеет тот же размер, что и результат.

0. Нормальное возвращение.
1. Ошибка входных данных, вернуть NaN.
2. Переполнение, вернуть Inf.
3. Потеря значимости при сокращении аргументов приводит к менее чем половине точности машины.
4. Потеря значимости при сокращении аргументов, вывод может быть неточным.
5. Ошибка — вычисления не выполнены, условие завершения алгоритма не выполнено, вернуть NaN.

См. также: bessely, besseli, besselk, besselh.

: Y = bessely (alpha, x) ¶

: Y = bessely (alpha, x, opt) ¶

: [Y, ierr] = bessely (…) ¶

Вычисление функций Бесселя второго рода.

Порядок функции Бесселя alpha должен быть вещественным. Точки для оценки x могут быть комплексными.

Если необязательный параметр opt равен 1 или true, результат Y умножается на exp (-abs (imag (x))).

Если alpha является скаляром, результат имеет тот же размер, что и x. Если x является скаляром, результат имеет тот же размер, что и alpha. Если alpha является строкой-вектором, а x — столбцом-вектором, результат — матрица с length (x) строками и length (alpha) столбцами. В противном случае alpha и x должны быть согласованы, и результат будет того же размера.

Если запрошено, ierr содержит следующую информацию о состоянии и имеет тот же размер, что и результат.

0. Нормальное возвращение.
1. Ошибка входных данных, вернуть NaN.
2. Переполнение, вернуть Inf.
3. Потеря значимости при сокращении аргументов приводит к менее чем половине точности машины.
4. Полная потеря значимости при сокращении аргументов, вернуть NaN.
5. Ошибка — вычисления не выполнены, условие завершения алгоритма не выполнено, вернуть NaN.

См. также: besselj, besseli, besselk, besselh.

: I = besseli (alpha, x) ¶

: I = besseli (alpha, x, opt) ¶

: [I, ierr] = besseli (…) ¶

Вычисление модифицированных функций Бесселя первого рода.

Порядок функции Бесселя alpha должен быть вещественным. Точки для оценки x могут быть комплексными.

Если необязательный параметр opt равен 1 или true, результат I умножается на exp (-abs (real (x))).

Если alpha является скаляром, результат имеет тот же размер, что и x. Если x является скаляром, результат имеет тот же размер, что и alpha. Если alpha является строкой-вектором, а x — столбцом-вектором, результат — матрица с length (x) строками и length (alpha) столбцами. В противном случае alpha и x должны быть согласованы, и результат будет того же размера.

Если запрошено, ierr содержит следующую информацию о состоянии и имеет тот же размер, что и результат.

0. Нормальное возвращение.
1. Ошибка входных данных, вернуть NaN.
2. Переполнение, вернуть Inf.
3. Потеря значимости при сокращении аргументов приводит к менее чем половине точности машины.
4. Полная потеря значимости при сокращении аргументов, вернуть NaN.
5. Ошибка — вычисления не выполнены, условие завершения алгоритма не выполнено, вернуть NaN.

См. также: besselk, besselj, bessely, besselh.

: K = besselk (alpha, x) ¶

: K = besselk (alpha, x, opt) ¶

: [K, ierr] = besselk (…) ¶

Вычисление модифицированных функций Бесселя второго рода.

Порядок функции Бесселя alpha должен быть вещественным. Точки для оценки x могут быть комплексными.

Если необязательный параметр opt равен 1 или true, результат K умножается на exp (x).

Если alpha является скаляром, результат имеет тот же размер, что и x. Если x является скаляром, результат имеет тот же размер, что и alpha. Если alpha является строкой-вектором, а x — столбцом-вектором, результат — матрица с length (x) строками и length (alpha) столбцами. В противном случае alpha и x должны быть согласованы, и результат будет того же размера.

Если запрошено, ierr содержит следующую информацию о состоянии и имеет тот же размер, что и результат.

0. Нормальное возвращение.
1. Ошибка входных данных, вернуть NaN.
2. Переполнение, вернуть Inf.
3. Потеря значимости при сокращении аргументов приводит к менее чем половине точности машины.
4. Полная потеря значимости при сокращении аргументов, вернуть NaN.
5. Ошибка — вычисления не выполнены, условие завершения алгоритма не выполнено, вернуть NaN.

См. также: besseli, besselj, bessely, besselh.

: H = besselh (alpha, x) ¶

: H = besselh (alpha, k, x) ¶

: H = besselh (alpha, k, x, opt) ¶

: [H, ierr] = besselh (…) ¶

Вычисление функций Бесселя третьего рода (функций Ханкеля).

Порядок функции Бесселя alpha должен быть вещественным. Тип функции Ханкеля задаётся k и может быть первого (k = 1) или второго (k = 2) рода. По умолчанию — функции Ханкеля первого рода. Точки для вычисления x могут быть комплексными.

Если необязательный аргумент opt равен 1 или истине, результат умножается на exp (-I*x) для k = 1 или на exp (I*x) для k = 2.

Если alpha — скаляр, результат имеет тот же размер, что и x. Если x — скаляр, результат имеет тот же размер, что и alpha. Если alpha — строка-вектор, а x — столбец-вектор, результат — матрица с length (x) строками и length (alpha) столбцами. В противном случае alpha и x должны соответствовать друг другу, и результат будет иметь тот же размер.

Если запрошено, ierr содержит следующую информацию о состоянии и имеет тот же размер, что и результат.

0. Нормальное возвращение.
1. Ошибка входных данных, возвращается NaN.
2. Переполнение, возвращается Inf.
3. Потеря значимости при сокращении аргумента приводит к менее чем половинной машинной точности.
4. Полная потеря значимости при сокращении аргумента, возвращается NaN.
5. Ошибка — вычисления не производились, условие прекращения работы алгоритма не выполнено, возвращается NaN.

См. также: besselj, bessely, besseli, besselk.

: y = beta (a, b) ¶

Вычисление бета-функции для вещественных входных данных a и b.

Определение бета-функции:

beta (a, b) = gamma (a) * gamma (b) / gamma (a + b).

Бета-функция может принимать достаточно большие значения, и часто полезнее работать с логарифмом результата, чем с самой функцией. См. betaln для вычисления логарифма бета-функции эффективным способом.

См. также: betaln, betainc, betaincinv.

: I = betainc (x, a, b) ¶

: I = betainc (x, a, b, tail) ¶

Вычисление неполной бета-функции.

Она определяется как

x
                         /
                 1       |
I_x (a, b) = ----------  | t^(a-1) (1-t)^(b-1) dt
             beta (a,b)  |
                         /
                        0

при вещественном x в интервале [0,1]. Входные данные a и b должны быть вещественными и строго положительными (> 0). Если один из входных данных не является скаляром, то другие входные данные должны быть скалярами или иметь совместимые размеры.

По умолчанию tail — "lower" и вычисляется неполная бета-функция, интегрированная от 0 до x. Если tail — "upper", то вычисляется дополнительная функция, интегрированная от x до 1. Эти два варианта связаны соотношением

betainc (x, a, b, "upper") = 1 - betainc (x, a, b, "lower").

betainc использует более сложный алгоритм, чем вычитание, для получения численно точных результатов, когда значение "lower" мало.

Ссылка: A. Cuyt, V. Brevik Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland, W.B. Jones, Справочник по непрерывным дробям для специальных функций, гл. 18.

См. также: beta, betaincinv, betaln.

: x = betaincinv (y, a, b) ¶

: x = betaincinv (y, a, b, "lower") ¶

: x = betaincinv (y, a, b, "upper") ¶

Вычисление обратной функции нормализованной неполной бета-функции.

Нормализованная неполная бета-функция определяется как

x
                         /
                 1       |
I_x (a, b) = ----------  | t^(a-1) (1-t)^(b-1) dt
             beta (a,b)  |
                         /
                        0

Если два входных данных — скаляры, то betaincinv (y, a, b) возвращается для каждого из остальных входных данных.

Если два или более входных данных не являются скалярами, их размеры должны совпадать, и betaincinv применяется поэлементно.

Переменная y должна находиться в интервале [0,1], а a и b должны быть вещественными и строго положительными.

По умолчанию tail — "lower" и вычисляется обратная функция неполной бета-функции, интегрированной от 0 до x. Если tail — "upper", то обращается дополнительная функция, интегрированная от x до 1.

Функция вычисляется стандартным методом Ньютона, путём решения

y - betainc (x, a, b) = 0

См. также: betainc, beta, betaln.

: lnb = betaln (a, b) ¶

Вычисление натурального логарифма бета-функции для вещественных входных данных a и b.

betaln определяется как

betaln (a, b) = log (beta (a, b))

и вычисляется таким образом, чтобы уменьшить вероятность возникновения недолива.

Бета-функция может принимать достаточно большие значения, и часто полезнее работать с логарифмом результата, чем с самой функцией.

См. также: beta, betainc, betaincinv, gammaln.

: b = bincoeff (n, k) ¶

Возвращение биномиального коэффициента для n и k.

Биномиальный коэффициент определяется как

/   \
 | n |    n (n-1) (n-2) … (n-k+1)
 |   |  = -------------------------
 | k |               k!
 \   /

Например:

bincoeff (5, 2)
   ⇒ 10

В большинстве случаев функция nchoosek быстрее для небольших скалярных целочисленных аргументов. Она также предупреждает о потере точности для больших аргументов.

См. также: nchoosek.

: k = commutation_matrix (m, n) ¶

Возвращение матрицы коммутации K(m,n), которая является единственной матрицей m*n на m*n такой, что K(m,n) * vec(A) = vec(A') для всех матриц A размером m на n.

Если задан только один аргумент m, возвращается K(m,m).

См. Magnus и Neudecker (1988), Матричный дифференциальный исчисление с приложениями в статистике и эконометрике.

: y = cosint (x) ¶

Вычисление интегральной функции косинуса:

+oo
           /
Ci (x) = - | (cos (t)) / t dt
           /
          x

Эквивалентное определение:

x
                            /
                            |  cos (t) - 1
Ci (x) = gamma + log (x) +  | -------------  dt
                            |        t
                            /
                           0

Ссылка:

M. Abramowitz and I.A. Stegun, Справочник по математическим функциям, 1964.

См. также: sinint, expint, cos.

: d = duplication_matrix (n) ¶

Возвращение матрицы удвоения Dn, которая является единственной матрицей N^2-на-N*(N+1)/2 такой, что Dn * vech (A) = vec (A) для всех симметричных матриц N-на-N A.

См. Magnus и Neudecker (1988), Матричный дифференциальный исчисление с приложениями в статистике и эконометрике.

: v = dawson (z) ¶

Вычисление функции Доусона (масштабированная мнимая ошибка).

Функция Доусона определяется как

(sqrt (pi) / 2) * exp (-z^2) * erfi (z)

См. также: erfc, erf, erfcx, erfi, erfinv, erfcinv.

: [sn, cn, dn, err] = ellipj (u, m) ¶

: [sn, cn, dn, err] = ellipj (u, m, tol) ¶

Вычислить эллиптические функции Якоби sn, cn и dn от комплексного аргумента u и вещественного параметра m.

Если m является скаляром, результаты имеют тот же размер, что и u. Если u является скаляром, результаты имеют тот же размер, что и m. Если u является столбцом, а m — строкой, результаты — матрица с length (u) строками и length (m) столбцами. В противном случае u и m должны быть совместимы по размеру, и результаты будут иметь тот же размер, что и входные данные.

Значение u может быть комплексным. Значение m должно быть 0 ≤ m ≤ 1.

Необязательный вход tol в настоящее время игнорируется (MATLAB использует его для более быстрого, но менее точного приближения).

Если затребовано, err содержит следующую информацию об ошибках и имеет тот же размер, что и результат.

0. Нормальный возврат.
1. Ошибка — вычисления не выполнены, условие завершения алгоритма не соблюдено, возвращается NaN.

Ссылка: Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, Справочник по математическим функциям, Глава 16 (Разделы 16.4, 16.13 и 16.15), Dover, 1965.

См. также: ellipke.

: k = ellipke (m) ¶

: k = ellipke (m, tol) ¶

: [k, e] = ellipke (…) ¶

Вычислить полные эллиптические интегралы первого K(m) и второго E(m) рода.

m должен быть скаляром или вещественным массивом с -Inf ≤ m ≤ 1.

Необязательный вход tol контролирует толерантность останова алгоритма и по умолчанию равен eps (class (m)). Толерантность может быть увеличена для более быстрого, но менее точного приближения.

При вызове с одним выходным значением возвращаются только эллиптические интегралы первого рода.

Математическое замечание:

Эллиптические интегралы первого рода определяются как

1
        /               dt
K (m) = | ------------------------------
        / sqrt ((1 - t^2)*(1 - m*t^2))
       0

Эллиптические интегралы второго рода определяются как

1
        /  sqrt (1 - m*t^2)
E (m) = |  ------------------ dt
        /  sqrt (1 - t^2)
       0

Ссылка: Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, Справочник по математическим функциям, Глава 17, Dover, 1965.

См. также: ellipj.

: v = erf (z) ¶

Вычислить функцию ошибки.

Функция ошибки определяется как

z
              2        /
erf (z) = --------- *  | e^(-t^2) dt
          sqrt (pi)    /
                    t=0

См. также: erfc, erfcx, erfi, dawson, erfinv, erfcinv.

: v = erfc (z) ¶

Вычислить дополнительную функцию ошибки.

Дополнительная функция ошибки определяется как 1 - erf (z).

См. также: erfcinv, erfcx, erfi, dawson, erf, erfinv.

: v = erfcx (z) ¶

Вычислить масштабированную дополнительную функцию ошибки.

Масштабированная дополнительная функция ошибки определяется как

exp (z^2) * erfc (z)

См. также: erfc, erf, erfi, dawson, erfinv, erfcinv.

: v = erfi (z) ¶

Вычислить мнимую функцию ошибки.

Мнимая функция ошибки определяется как

-i * erf (i*z)

См. также: erfc, erf, erfcx, dawson, erfinv, erfcinv.

: y = erfinv (x) ¶

Вычислить обратную функцию ошибки.

Обратная функция ошибки определяется так, что

erf (y) == x

См. также: erf, erfc, erfcx, erfi, dawson, erfcinv.

: y = erfcinv (x) ¶

Вычислить обратную дополнительную функцию ошибки.

Обратная дополнительная функция ошибки определяется так, что

erfc (y) == x

См. также: erfc, erf, erfcx, erfi, dawson, erfinv.

: y = expint (x) ¶

Вычислить экспоненциальный интеграл.

Экспоненциальный интеграл определяется как:

+oo
          /
          | exp (-t)
E_1 (x) = | -------- dt
          |    t
          /
         x

Примечание: для совместимости эта функция использует определение экспоненциального интеграла MATLAB. Большинство других источников называют эту конкретную величину E_1 (x), а экспоненциальный интеграл как

+oo
           /
           | exp (-t)
Ei (x) = - | -------- dt
           |    t
           /
         -x

Два определения связаны для положительных действительных значений x как E_1 (-x) = -Ei (x) - i*pi.

Ссылки:

М. Абрамовиц и И.А. Стегун, Справочник по математическим функциям, 1964.

Н. Блейстейн и Р.А. Хандельсман, Асимптотические разложения интегралов, 1986.

См. также: cosint, sinint, exp.

: v = gamma (z) ¶

Вычислить гамма-функцию.

Гамма-функция определяется как

infinity
            /
gamma (z) = | t^(z-1) exp (-t) dt.
            /
         t=0

Примечание по программированию: гамма-функция может принимать довольно большие значения даже для небольших входных значений. Во многих случаях предпочтительнее использовать натуральный логарифм гамма-функции (gammaln) в вычислениях, чтобы минимизировать потерю точности. Конечный результат тогда exp (result_using_gammaln).

См. также: gammainc, gammaln, factorial.

: y = gammainc (x, a) ¶

: y = gammainc (x, a, tail) ¶

Вычислить нормированную неполную гамма-функцию.

Это определяется как

x
                       1       /
gammainc (x, a) = ---------    | exp (-t) t^(a-1) dt
                  gamma (a)    /
                            t=0

с предельным значением 1 при стремлении x к бесконечности. Стандартная запись — P(a,x), например, Абрамовиц и Стегун (6.5.1).

Если a является скаляром, то gammainc (x, a) возвращается для каждого элемента x и наоборот.

Если ни x, ни a не являются скалярами, то размеры x и a должны совпадать, и gammainc применяется поэлементно. Элементы a должны быть неотрицательными.

По умолчанию tail — "lower" и вычисляется неполная гамма-функция, интегрированная от 0 до x. Если tail — "upper" , вычисляется дополнительная функция, интегрированная от x до бесконечности.

Если tail — "scaledlower", то нижняя неполная гамма-функция умножается на gamma(a+1)*exp(x)/(x^a). Если tail — "scaledupper", то верхняя неполная гамма-функция умножается на то же самое количество.

Ссылки:

М. Абрамовиц и И.А. Стегун, Справочник по математическим функциям, Dover publications, Inc., 1972.

В. Гаутши, Вычислительная процедура для неполных гамма-функций, ACM Trans. Math Software, стр. 466–481, том 5, № 4, 2012.

В. Х. Пресс, С. А. Теукольский, В. Т. Ветерлинг и Б. П. Фланнери, Числовые рецепты на Fortran 77, гл. 6.2, том 1, 1992.

См. также: gamma, gammaincinv, gammaln.

: x = gammaincinv (y, a) ¶

: x = gammaincinv (y, a, tail) ¶

Вычислить обратную функцию нормированной неполной гамма-функции.

Нормированная неполная гамма-функция определяется как

x
                       1       /
gammainc (x, a) = ---------    | exp (-t) t^(a-1) dt
                  gamma (a)    /
                            t=0

и gammaincinv (gammainc (x, a), a) = x для каждого неотрицательного значения x. Если a является скаляром, то gammaincinv (y, a) возвращается для каждого элемента y, и наоборот.

Если ни y, ни a не являются скалярами, то размеры y и a должны совпадать, и gammaincinv применяется поэлементно. Переменная y должна находиться в интервале [0,1], а a должна быть вещественной и положительной.

По умолчанию, tail равно "lower" и вычисляется обратная неполная гамма-функция, интегрированная от 0 до x. Если tail равно "upper", то инвертируется дополнительная функция, интегрированная от x до бесконечности.

Функция вычисляется методом Ньютона путем решения

y - gammainc (x, a) = 0

Ссылка: A. Gil, J. Segura, и N. M. Temme, Эффективные и точные алгоритмы для вычисления и обратной функции отношений неполной гамма-функции, SIAM J. Sci. Computing, стр. A2965–A2981, том 34, 2012.

См. также: gammainc, gamma, gammaln.

: l = legendre (n, x) ¶

: l = legendre (n, x, normalization) ¶

Вычислить ассоциированную функцию Лежандра степени n и порядка m = 0 … n.

Значение n должно быть действительным неотрицательным целым числом.

x — это вектор с вещественными элементами в диапазоне [-1, 1].

Необязательный аргумент normalization может быть одним из "unnorm", "sch", или "norm". По умолчанию, если нормализация не указана, используется "unnorm".

Когда необязательный аргумент normalization равен "unnorm", вычислить ассоциированную функцию Лежандра степени n и порядка m и вернуть все значения для m = 0 … n. Значение возврата имеет на одну размерность больше, чем x.

Ассоциированная функция Лежандра степени n и порядка m:

m         m      2  m/2   d^m
P(x) = (-1) * (1-x  )    * ----  P(x)
 n                         dx^m   n

с полиномом Лежандра степени n:

1    d^n   2    n
P(x) = ------ [----(x - 1) ]
 n     2^n n!  dx^n

legendre (3, [-1.0, -0.9, -0.8]) возвращает матрицу:

x  |   -1.0   |   -0.9   |   -0.8
------------------------------------
m=0 | -1.00000 | -0.47250 | -0.08000
m=1 |  0.00000 | -1.99420 | -1.98000
m=2 |  0.00000 | -2.56500 | -4.32000
m=3 |  0.00000 | -1.24229 | -3.24000

Когда необязательный аргумент normalization равен "sch", вычислить полунормализованную функцию Лежандра по Шмидту. Полунормализованная функция Лежандра по Шмидту связана с ненормализованными функциями Лежандра следующим образом:

Для функций Лежандра степени n и порядка 0:

0      0
SP(x) = P(x)
  n      n

Для функций Лежандра степени n и порядка m:

m      m         m    2(n-m)! 0.5
SP(x) = P(x) * (-1)  * [-------]
  n      n              (n+m)!

Когда необязательный аргумент normalization равен "norm", вычислить полностью нормализованную ассоциированную функцию Лежандра. Полностью нормализованная ассоциированная функция Лежандра связана с ненормализованными ассоциированными функциями Лежандра следующим образом:

Для функций Лежандра степени n и порядка m

m      m         m    (n+0.5)(n-m)! 0.5
NP(x) = P(x) * (-1)  * [-------------]
  n      n                  (n+m)!

: y = gammaln (x) ¶

: y = lgamma (x) ¶

Возвращает натуральный логарифм гамма-функции от x.

Примечание по программированию: lgamma является псевдонимом для gammaln и любое из этих названий может быть использовано в Octave.

См. также: gamma, gammainc.

: y = psi (z) ¶

: y = psi (k, z) ¶

Вычислить функцию пси (полигамма-функцию).

Полигамма-функции являются k-й производной логарифма гамма-функции. Если не указано, k по умолчанию равно нулю. Значение нуль вычисляет дигамма-функцию, значение 1 — тригамма-функцию и так далее.

Дигамма-функция определяется как:

psi (z) = d (log (gamma (z))) / dx

При вычислении дигамма-функции (когда k равно нулю), z может иметь любое вещественное или комплексное значение. Однако для полигамма-функций (k больше 0), z должно быть действительным и неотрицательным.

См. также: gamma, gammainc, gammaln.

: y = sinint (x) ¶

Вычислить функцию синуса интеграла:

x
          /
Si (x) =  | sin (t) / t dt
          /
         0

Ссылка: M. Abramowitz и I.A. Stegun, Справочник по математическим функциям, 1964.

См. также: cosint, expint, sin.