Eigen::EigenSolver

Тип комплексного скаляра для MatrixType.

Это std::complex<Scalar> если Scalar вещественный (например, float или double) и просто Scalar если Scalar комплексный.

Тип для вектора собственных значений, возвращаемого методом eigenvalues().

Это столбец с элементами типа ComplexScalar. Длина вектора равна размеру MatrixType.

Тип для матрицы собственных векторов, возвращаемой методом eigenvectors().

Это квадратная матрица с элементами типа ComplexScalar. Размер совпадает с размером MatrixType.

Устаревшее:

с Eigen 3.3

Конструктор по умолчанию.

Конструктор по умолчанию полезен в тех случаях, когда пользователь намерен выполнять разложения с помощью EigenSolver::compute(const MatrixType&, bool).

См. также

compute() для примера.

Конструктор по умолчанию с предварительной выделением памяти.

Аналогично конструктору по умолчанию, но с предварительным выделением внутренней памяти в соответствии с указанным size проблемы.

См. также

EigenSolver()

Конструктор; вычисляет собственное разложение заданной матрицы.

Параметры

[вход]	matrix	Квадратная матрица, для которой необходимо вычислить собственное разложение.
[вход]	computeEigenvectors	Если true, вычисляются и собственные векторы, и собственные значения; если false, вычисляются только собственные значения.

Этот конструктор вызывает compute() для вычисления собственных значений и собственных векторов.

Пример:

MatrixXd A = MatrixXd::Random(6,6);
cout << "Here is a random 6x6 matrix, A:" << endl << A << endl << endl;
 
EigenSolver<MatrixXd> es(A);
cout << "The eigenvalues of A are:" << endl << es.eigenvalues() << endl;
cout << "The matrix of eigenvectors, V, is:" << endl << es.eigenvectors() << endl << endl;
 
complex<double> lambda = es.eigenvalues()[0];
cout << "Consider the first eigenvalue, lambda = " << lambda << endl;
VectorXcd v = es.eigenvectors().col(0);
cout << "If v is the corresponding eigenvector, then lambda * v = " << endl << lambda * v << endl;
cout << "... and A * v = " << endl << A.cast<complex<double> >() * v << endl << endl;
 
MatrixXcd D = es.eigenvalues().asDiagonal();
MatrixXcd V = es.eigenvectors();
cout << "Finally, V * D * V^(-1) = " << endl << V * D * V.inverse() << endl;

Вывод:

Here is a random 6x6 matrix, A:
   0.68   -0.33   -0.27  -0.717  -0.687  0.0259
 -0.211   0.536  0.0268   0.214  -0.198   0.678
  0.566  -0.444   0.904  -0.967   -0.74   0.225
  0.597   0.108   0.832  -0.514  -0.782  -0.408
  0.823 -0.0452   0.271  -0.726   0.998   0.275
 -0.605   0.258   0.435   0.608  -0.563  0.0486

The eigenvalues of A are:
  (0.049,1.06)
 (0.049,-1.06)
     (0.967,0)
     (0.353,0)
 (0.618,0.129)
(0.618,-0.129)
The matrix of eigenvectors, V, is:
 (-0.292,-0.454)   (-0.292,0.454)      (-0.0607,0)       (-0.733,0)    (0.59,-0.121)     (0.59,0.121)
  (0.134,-0.104)    (0.134,0.104)       (-0.799,0)        (0.136,0)    (0.334,0.368)   (0.334,-0.368)
  (-0.422,-0.18)    (-0.422,0.18)        (0.192,0)       (0.0563,0)  (-0.335,-0.143)   (-0.335,0.143)
 (-0.589,0.0274) (-0.589,-0.0274)      (-0.0788,0)       (-0.627,0)   (0.322,-0.155)    (0.322,0.155)
  (-0.248,0.132)  (-0.248,-0.132)        (0.401,0)        (0.218,0) (-0.335,-0.0761)  (-0.335,0.0761)
    (0.105,0.18)    (0.105,-0.18)       (-0.392,0)     (-0.00564,0)  (-0.0324,0.103) (-0.0324,-0.103)

Consider the first eigenvalue, lambda = (0.049,1.06)
If v is the corresponding eigenvector, then lambda * v = 
  (0.466,-0.331)
   (0.117,0.137)
   (0.17,-0.456)
(-0.0578,-0.622)
 (-0.152,-0.256)
   (-0.186,0.12)
... and A * v = 
  (0.466,-0.331)
   (0.117,0.137)
   (0.17,-0.456)
(-0.0578,-0.622)
 (-0.152,-0.256)
   (-0.186,0.12)

Finally, V * D * V^(-1) = 
   (0.68,-4.44e-16)   (-0.33,-5.55e-17)   (-0.27,-1.11e-16)  (-0.717,-4.44e-16)   (-0.687,8.88e-16)          (0.0259,0)
  (-0.211,2.22e-16)    (0.536,1.91e-17)          (0.0268,0)           (0.214,0)   (-0.198,1.33e-15)           (0.678,0)
   (0.566,2.22e-16)  (-0.444,-1.53e-16)   (0.904,-2.22e-16)  (-0.967,-1.11e-16)    (-0.74,4.44e-16)    (0.225,2.22e-16)
  (0.597,-2.22e-16)   (0.108,-2.78e-16)   (0.832,-2.22e-16)  (-0.514,-1.11e-16)          (-0.782,0)  (-0.408,-2.22e-16)
  (0.823,-2.22e-16) (-0.0452,-1.67e-16)           (0.271,0)   (-0.726,1.11e-16)   (0.998,-8.88e-16)    (0.275,4.44e-16)
  (-0.605,2.91e-16)   (0.258,-6.94e-18)   (0.435,-6.94e-17)    (0.608,1.39e-17)   (-0.563,5.27e-16)   (0.0486,7.11e-17)

См. также

compute()

Вычисляет собственное разложение заданной матрицы.

Параметры

[вход]	matrix	Квадратная матрица, для которой необходимо вычислить собственное разложение.
[вход]	computeEigenvectors	Если true, вычисляются и собственные векторы, и собственные значения; если false, вычисляются только собственные значения.

Возвращает

Ссылка на *this

Эта функция вычисляет собственные значения вещественной матрицы matrix. Для их получения можно использовать функцию eigenvalues(). Если computeEigenvectors равно true, то также вычисляются собственные векторы, которые можно получить, вызвав eigenvectors().

Матрица сначала сводится к вещественной форме Шура с помощью класса RealSchur. Затем разложение Шура используется для вычисления собственных значений и собственных векторов.

Стоимость вычисления определяется стоимостью разложения Шура, которая приблизительно равна \( 25n^3 \) (где \( n \) – размер матрицы), если computeEigenvectors равно true, и \( 10n^3 \) если computeEigenvectors равно false.

Этот метод повторно использует выделенную память в объекте EigenSolver.

Пример:

EigenSolver<MatrixXf> es;
MatrixXf A = MatrixXf::Random(4,4);
es.compute(A, /* computeEigenvectors = */ false);
cout << "The eigenvalues of A are: " << es.eigenvalues().transpose() << endl;
es.compute(A + MatrixXf::Identity(4,4), false); // re-use es to compute eigenvalues of A+I
cout << "The eigenvalues of A+I are: " << es.eigenvalues().transpose() << endl;

Вывод:

The eigenvalues of A are:    (0.755,0.528)   (0.755,-0.528)  (-0.323,0.0965) (-0.323,-0.0965)
The eigenvalues of A+I are:    (1.75,0.528)   (1.75,-0.528)  (0.677,0.0965) (0.677,-0.0965)

Возвращает собственные значения заданной матрицы.

Возвращает

Ссылка на константу, на столбец, содержащий собственные значения.

Предварительное условие

Должно быть выполнено либо конструктор EigenSolver(const MatrixType&, bool), либо метод compute(const MatrixType&, bool)

Собственные значения повторяются в соответствии с их алгебраической кратностью, поэтому их количество равно количеству строк в матрице. Собственные значения не отсортированы в определенном порядке.

Пример:

MatrixXd ones = MatrixXd::Ones(3,3);
EigenSolver<MatrixXd> es(ones, false);
cout << "The eigenvalues of the 3x3 matrix of ones are:" 
     << endl << es.eigenvalues() << endl;

Вывод:

The eigenvalues of the 3x3 matrix of ones are:
(-5.31e-17,0)
        (3,0)
        (0,0)

См. также

eigenvectors(), pseudoEigenvalueMatrix(), MatrixBase::eigenvalues()

Возвращает собственные векторы заданной матрицы.

Возвращает

Матрица, столбцы которой представляют собой (возможно, комплексные) собственные векторы.

Предварительное условие

Должен быть вызван либо конструктор EigenSolver(const MatrixType&,bool), либо метод compute(const MatrixType&, bool), и computeEigenvectors должно быть установлено в значение true (по умолчанию).

Столбец \( k \) возвращаемой матрицы является собственным вектором, соответствующим собственному значению с номером \( k \), как возвращается функцией eigenvalues(). Собственные векторы нормированы и имеют (евклидову) норму, равную единице. Возвращаемая функцией матрица является матрицей \( V \) в разложении по собственным значениям \( A = V D V^{-1} \), если оно существует.

Пример:

MatrixXd ones = MatrixXd::Ones(3,3);
EigenSolver<MatrixXd> es(ones);
cout << "The first eigenvector of the 3x3 matrix of ones is:"
     << endl << es.eigenvectors().col(0) << endl;

Вывод:

The first eigenvector of the 3x3 matrix of ones is:
(-0.816,0)
 (0.408,0)
 (0.408,0)

См. также

eigenvalues(), pseudoEigenvectors()

Возвращает

NumericalIssue, если входные данные содержат INF или NaN значения или произошел переполнение. В противном случае возвращает Success.

Возвращает блочно-диагональную матрицу в псевдо-разложении по собственным значениям.

Возвращает

Блочно-диагональная матрица.

Предварительное условие

Должен быть вызван либо конструктор EigenSolver(const MatrixType&,bool), либо метод compute(const MatrixType&, bool).

Матрица \( D \), возвращаемая этой функцией, является вещественной и блочно-диагональной. Блоки на диагонали представляют собой либо блоки 1x1, либо 2x2, вида \( \begin{bmatrix} u & v \\ -v & u \end{bmatrix} \). Эти блоки не упорядочены каким-либо определенным способом. Матрицы \( D \) и \( V \), возвращаемые pseudoEigenvectors(), удовлетворяют \( AV = VD \).

См. также

pseudoEigenvectors() для примера, eigenvalues()

Возвращает псевдособственные векторы заданной матрицы.

Возвращает

Константная ссылка на матрицу, столбцы которой являются псевдособственными векторами.

Предварительное условие

Должен быть вызван либо конструктор EigenSolver(const MatrixType&,bool), либо метод compute(const MatrixType&, bool), и computeEigenvectors должно быть установлено в значение true (по умолчанию).

Вещественная матрица \( V \), возвращаемая этой функцией, и блочно-диагональная матрица \( D \), возвращаемая pseudoEigenvalueMatrix(), удовлетворяют \( AV = VD \).

Пример:

MatrixXd A = MatrixXd::Random(6,6);
cout << "Here is a random 6x6 matrix, A:" << endl << A << endl << endl;
 
EigenSolver<MatrixXd> es(A);
MatrixXd D = es.pseudoEigenvalueMatrix();
MatrixXd V = es.pseudoEigenvectors();
cout << "The pseudo-eigenvalue matrix D is:" << endl << D << endl;
cout << "The pseudo-eigenvector matrix V is:" << endl << V << endl;
cout << "Finally, V * D * V^(-1) = " << endl << V * D * V.inverse() << endl;

Вывод:

Here is a random 6x6 matrix, A:
   0.68   -0.33   -0.27  -0.717  -0.687  0.0259
 -0.211   0.536  0.0268   0.214  -0.198   0.678
  0.566  -0.444   0.904  -0.967   -0.74   0.225
  0.597   0.108   0.832  -0.514  -0.782  -0.408
  0.823 -0.0452   0.271  -0.726   0.998   0.275
 -0.605   0.258   0.435   0.608  -0.563  0.0486

The pseudo-eigenvalue matrix D is:
 0.049   1.06      0      0      0      0
 -1.06  0.049      0      0      0      0
     0      0  0.967      0      0      0
     0      0      0  0.353      0      0
     0      0      0      0  0.618  0.129
     0      0      0      0 -0.129  0.618
The pseudo-eigenvector matrix V is:
  -0.571   -0.888   -0.066    -1.13     17.2    -3.53
   0.263   -0.204   -0.869     0.21     9.73     10.7
  -0.827   -0.352    0.209   0.0871    -9.74    -4.17
   -1.15   0.0535  -0.0857   -0.971     9.36    -4.52
  -0.485    0.258    0.436    0.337    -9.74    -2.21
   0.206    0.353   -0.426 -0.00873   -0.944     2.98
Finally, V * D * V^(-1) = 
   0.68   -0.33   -0.27  -0.717  -0.687  0.0259
 -0.211   0.536  0.0268   0.214  -0.198   0.678
  0.566  -0.444   0.904  -0.967   -0.74   0.225
  0.597   0.108   0.832  -0.514  -0.782  -0.408
  0.823 -0.0452   0.271  -0.726   0.998   0.275
 -0.605   0.258   0.435   0.608  -0.563  0.0486

См. также

pseudoEigenvalueMatrix(), eigenvectors()