Дискретное преобразование Фурье (numpy.fft)

Стандартные преобразования Фурье

`fft`(a[, n, axis, norm])	Вычислить одномерное дискретное преобразование Фурье.
`ifft`(a[, n, axis, norm])	Вычислить одномерное обратное дискретное преобразование Фурье.
`fft2`(a[, s, axes, norm])	Вычислить двумерное дискретное преобразование Фурье
`ifft2`(a[, s, axes, norm])	Вычислить двумерное обратное дискретное преобразование Фурье.
`fftn`(a[, s, axes, norm])	Вычислить N-мерное дискретное преобразование Фурье.
`ifftn`(a[, s, axes, norm])	Вычислить N-мерное обратное дискретное преобразование Фурье.

Преобразования Фурье для вещественных данных

`rfft`(a[, n, axis, norm])	Вычислить одномерное дискретное преобразование Фурье для вещественного входного сигнала.
`irfft`(a[, n, axis, norm])	Вычислить обратное n-точечное ДПФ для вещественного входного сигнала.
`rfft2`(a[, s, axes, norm])	Вычислить двумерное преобразование Фурье вещественного массива.
`irfft2`(a[, s, axes, norm])	Вычислить двумерное обратное преобразование Фурье вещественного массива.
`rfftn`(a[, s, axes, norm])	Вычислить N-мерное дискретное преобразование Фурье для вещественного входного сигнала.
`irfftn`(a[, s, axes, norm])	Вычислить обратное N-мерное преобразование Фурье вещественного входного сигнала.

Преобразования Фурье для эрмитовых функций

`hfft`(a[, n, axis, norm])	Вычислить преобразование Фурье сигнала с эрмитовой симметрией, т.е. с вещественным спектром.
`ihfft`(a[, n, axis, norm])	Вычислить обратное преобразование Фурье сигнала с эрмитовой симметрией.

Вспомогательные функции

`fftfreq`(n[, d])	Возвращает частоты дискретного преобразования Фурье.
`rfftfreq`(n[, d])	Возвращает частоты дискретного преобразования Фурье (для использования с rfft, irfft).
`fftshift`(x[, axes])	Смещает компонент нулевой частоты в центр спектра.
`ifftshift`(x[, axes])	Обратное преобразование `fftshift`.

Общие сведения

Анализ Фурье — это метод представления функции как суммы периодических составляющих и восстановления функции по этим составляющим. При дискретизации как функции, так и её преобразования Фурье, это называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). ДПФ стало основным инструментом численного вычисления, частично благодаря очень быстрому алгоритму его вычисления — быстрому преобразованию Фурье (БПФ), известному ещё Гауссу (1805), и представленному в современном виде Кули и Тьюки [CT]. Пресс и др. [NR] предлагают доступное введение в анализ Фурье и его приложения.

Поскольку дискретное преобразование Фурье разделяет входной сигнал на составляющие, которые вносят вклад на дискретных частотах, оно имеет множество применений в обработке цифровых сигналов, например, для фильтрации, и в этом контексте дискретизированный вход в преобразование обычно называется сигналом, который существует во временной области. Результат называется спектром или преобразованием и существует в частотной области.

Детали реализации

Существует множество способов определения ДПФ, отличающихся знаком показателя, нормировкой и т.д. В этой реализации ДПФ определяется как

$A_k = \sum_{m=0}^{n-1} a_m \exp\left\{-2\pi i{mk \over n}\right\} \qquad k = 0,\ldots,n-1.$

В общем случае ДПФ определяется для комплексных входных и выходных данных, и одиночная частотная составляющая на линейной частоте $f$ представлена комплексной экспонентой $a_m = \exp\{2\pi i\,f m\Delta t\}$ , где $\Delta t$ — интервал дискретизации.

Значения в результате следуют так называемому «стандартному» порядку: Если A = fft(a, n), то A[0] содержит член нулевой частоты (сумма сигнала), который всегда вещественный для вещественных входных данных. Затем A[1:n/2] содержит положительные частотные составляющие, а A[n/2+1:] — отрицательные частотные составляющие в порядке убывания отрицательной частоты. Для чётного количества входных точек A[n/2] представляет как положительную, так и отрицательную частоту Найквиста и также является вещественным для вещественного входного сигнала. Для нечётного количества входных точек A[(n-1)/2] содержит наибольшую положительную частоту, а A[(n+1)/2] — наибольшую отрицательную частоту. Функция np.fft.fftfreq(n) возвращает массив, содержащий частоты соответствующих элементов на выходе. Функция np.fft.fftshift(A) смещает преобразования и их частоты, чтобы поместить составляющие нулевой частоты в центр, а np.fft.ifftshift(A) отменяет это смещение.

Когда вход a представляет сигнал во временной области и A = fft(a), np.abs(A) — это его амплитудный спектр, а np.abs(A)**2 — его спектральная плотность мощности. Фазовый спектр получается путём np.angle(A).

Обратное ДПФ определяется как

$a_m = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}A_k\exp\left\{2\pi i{mk\over n}\right\} \qquad m = 0,\ldots,n-1.$

Отличие от прямого преобразования заключается в знаке аргумента экспоненты и стандартной нормировкой $1/n$ .

Нормировка

Стандартная нормировка не масштабирует прямые преобразования и масштабирует обратные преобразования на $1/n$ . Возможна получение унитарных преобразований установкой ключевого аргумента norm на "ortho" (по умолчанию None) так, чтобы как прямые, так и обратные преобразования масштабировались на $1/\sqrt{n}$ .

Вещественные и эрмитовы преобразования

Когда вход — чисто вещественный, его преобразование является эрмитовым, т.е. составляющая на частоте $f_k$ является комплексно сопряженной к составляющей на частоте $-f_k$ , что означает, что для вещественных входных данных нет информации в составляющих отрицательных частот, которая не была бы доступна из составляющих положительных частот. Семейство функций rfft предназначено для работы с вещественными входными данными и использует эту симметрию, вычисляя только составляющие положительных частот, вплоть до и включая частоту Найквиста. Таким образом, n входных точек дают n/2+1 комплексных выходных точек. Обратные преобразования из этого семейства предполагают ту же симметрию входных данных, и для выхода из n точек используется n/2+1 входных точек.

Соответственно, когда спектр чисто вещественный, сигнал является эрмитовым. Семейство функций hfft использует эту симметрию, используя n/2+1 комплексных точек во входной (временной) области для n вещественных точек в частотной области.

В более высоких измерениях преобразования Фурье используются, например, для анализа и фильтрации изображений. Вычислительная эффективность БПФ означает, что он также может быть быстрее для вычисления больших сверток, используя свойство, что свертка во временной области эквивалентна поэлементному умножению в частотной области.

Более высокие измерения

В двух измерениях ДПФ определяется как

$A_{kl} = \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} a_{mn}\exp\left\{-2\pi i \left({mk\over M}+{nl\over N}\right)\right\} \qquad k = 0, \ldots, M-1;\quad l = 0, \ldots, N-1,$

что аналогичным образом обобщается на более высокие измерения, и обратные преобразования аналогичным образом обобщаются на более высокие измерения.

Список литературы

[CT]	Кули, Джеймс У., и Джон У. Тьюки, 1965, «Алгоритм для машинного вычисления комплексных рядов Фурье», Мат. выч. 19: 297-301.

[NR]	Пресс, У., Теукольский, С., Веттерин, У.Т., и Флэннери, Б.П., 2007, Численные рецепты: Искусство научных вычислений, гл. 12-13. Изд-во Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания.

Примеры

Примеры см. в различных функциях.

© 2008–2017 NumPy Developers
Licensed under the NumPy License.
https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.12.0/reference/routines.fft.html