Дискретное преобразование Фурье (numpy.fft)

Стандартные преобразования Фурье

`fft`(a[, n, axis, norm])	Вычислить одномерное дискретное преобразование Фурье.
`ifft`(a[, n, axis, norm])	Вычислить одномерное обратное дискретное преобразование Фурье.
`fft2`(a[, s, axes, norm])	Вычислить двумерное дискретное преобразование Фурье
`ifft2`(a[, s, axes, norm])	Вычислить двумерное обратное дискретное преобразование Фурье.
`fftn`(a[, s, axes, norm])	Вычислить N-мерное дискретное преобразование Фурье.
`ifftn`(a[, s, axes, norm])	Вычислить N-мерное обратное дискретное преобразование Фурье.

Преобразования Фурье для вещественных данных

`rfft`(a[, n, axis, norm])	Вычислить одномерное дискретное преобразование Фурье для вещественного входного сигнала.
`irfft`(a[, n, axis, norm])	Вычислить обратное преобразование n-точечного ДПФ для вещественного входного сигнала.
`rfft2`(a[, s, axes, norm])	Вычислить двумерное преобразование Фурье для вещественного массива.
`irfft2`(a[, s, axes, norm])	Вычислить двумерное обратное преобразование Фурье для вещественного массива.
`rfftn`(a[, s, axes, norm])	Вычислить N-мерное дискретное преобразование Фурье для вещественного входного сигнала.
`irfftn`(a[, s, axes, norm])	Вычислить обратное N-мерное преобразование Фурье для вещественного входного сигнала.

Преобразования Фурье для эрмитовых сигналов

`hfft`(a[, n, axis, norm])	Вычислить преобразование Фурье сигнала с эрмитовой симметрией, т.е. с вещественным спектром.
`ihfft`(a[, n, axis, norm])	Вычислить обратное преобразование Фурье сигнала с эрмитовой симметрией.

Вспомогательные функции

`fftfreq`(n[, d])	Возвращает частоты дискретного преобразования Фурье.
`rfftfreq`(n[, d])	Возвращает частоты дискретного преобразования Фурье (для использования с rfft, irfft).
`fftshift`(x[, axes])	Перемещает компонент нулевой частоты в центр спектра.
`ifftshift`(x[, axes])	Обратная функция к `fftshift`.

Общие сведения

Анализ Фурье – это метод представления функции как суммы периодических компонент и восстановления функции по этим компонентам. Когда и функция, и её преобразование Фурье заменяются дискретными аналогами, это называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). ДПФ стало неотъемлемой частью вычислительной математики, в том числе благодаря быстрому алгоритму его вычисления, называемому быстрым преобразованием Фурье (БПФ), которое было известно Гауссу (1805) и было раскрыто в современной форме Кули и Такке [Rfb1dc64dd6a5-CT]. Пресс и др. [Rfb1dc64dd6a5-NR] предлагают доступное введение в анализ Фурье и его приложения.

Так как дискретное преобразование Фурье разделяет входной сигнал на компоненты, которые вносят вклад на дискретных частотах, оно имеет множество применений в цифровой обработке сигналов, например, для фильтрации, и в этом контексте дискретный вход в преобразование обычно называется сигналом, который существует во временной области. Выход называется спектром или преобразованием и существует в частотной области.

Подробности реализации

Существует много способов определения ДПФ, различающихся знаком экспоненты, нормировкой и т.д. В этой реализации ДПФ определяется как

$A_k = \sum_{m=0}^{n-1} a_m \exp\left\{-2\pi i{mk \over n}\right\} \qquad k = 0,\ldots,n-1.$

В общем случае ДПФ определено для комплексных входных и выходных данных, и составляющая одной частоты с линейной частотой $f$ представлена комплексной экспонентой $a_m = \exp\{2\pi i\,f m\Delta t\}$ , где $\Delta t$ – интервал дискретизации.

Значения в результате следуют так называемому «стандартному» порядку: Если A = fft(a, n), то A[0] содержит член нулевой частоты (сумма сигнала), который всегда чисто вещественный для вещественных входных данных. Затем A[1:n/2] содержит члены положительной частоты, а A[n/2+1:] содержит члены отрицательной частоты, в порядке убывания отрицательных частот. Для чётного числа входных точек A[n/2] представляет как положительную, так и отрицательную частоту Найквиста и также чисто вещественное для вещественного входа. Для нечётного числа входных точек A[(n-1)/2] содержит наибольшую положительную частоту, а A[(n+1)/2] содержит наибольшую отрицательную частоту. Функция np.fft.fftfreq(n) возвращает массив, дающий частоты соответствующих элементов на выходе. Функция np.fft.fftshift(A) сдвигает преобразования и их частоты, чтобы поместить компоненты нулевой частоты в середину, а np.fft.ifftshift(A) отменяет этот сдвиг.

Когда вход a – это сигнал во временной области, и A = fft(a), np.abs(A) – это амплитудный спектр, а np.abs(A)**2 – это спектральная плотность мощности. Спектр фаз получается с помощью np.angle(A).

Обратное ДПФ определяется как

$a_m = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}A_k\exp\left\{2\pi i{mk\over n}\right\} \qquad m = 0,\ldots,n-1.$

Он отличается от прямого преобразования знаком аргумента экспоненты и нормировкой по умолчанию на $1/n$ .

Нормализация

Нормализация по умолчанию не масштабирует прямые преобразования и масштабирует обратные преобразования на $1/n$ . Возможно получить унитарные преобразования, установив ключевой аргумент norm в "ortho" (по умолчанию None ), так что и прямые, и обратные преобразования будут масштабированы на $1/\sqrt{n}$ .

Преобразования для вещественных и эрмитовых сигналов

Когда вход чисто вещественный, его преобразование является эрмитовым, т.е. составляющая на частоте $f_k$ является комплексно-сопряжённой составляющей на частоте $-f_k$ , что означает, что для вещественных входных данных нет информации в компонентах отрицательных частот, которая не была бы доступна из компонент положительных частот. Семейство функций rfft предназначено для работы с вещественными входными данными и использует эту симметрию, вычисляя только компоненты положительных частот, вплоть до и включая частоту Найквиста. Таким образом, n входных точек дают n/2+1 комплексных выходных точек. Обратные преобразования этой группы предполагают ту же симметрию своего входа, и для выхода из n точек используется n/2+1 входных точек.

Соответственно, когда спектр чисто вещественный, сигнал эрмитов. Семейство функций hfft использует эту симметрию, используя n/2+1 комплексных точек во входной (временной) области для n вещественных точек в частотной области.

В более высоких измерениях преобразования Фурье используются, например, для анализа изображений и фильтрации. Вычислительная эффективность БПФ означает, что он также может быть более быстрым способом вычисления больших свёрок, используя свойство, что свёртка во временной области эквивалентна точечному умножению в частотной области.

Многомерные преобразования

В двух измерениях ДПФ определяется как

$A_{kl} = \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} a_{mn}\exp\left\{-2\pi i \left({mk\over M}+{nl\over N}\right)\right\} \qquad k = 0, \ldots, M-1;\quad l = 0, \ldots, N-1,$

что очевидным образом обобщается на более высокие измерения, и обратные преобразования в более высоких измерениях также обобщаются аналогичным образом.

Ссылки

[Rfb1dc64dd6a5-CT]

Кули, Джеймс У., и Джон У. Такки, 1965, «Алгоритм для машинного вычисления комплексных рядов Фурье», Math. Comput. 19: 297-301.

[Rfb1dc64dd6a5-NR]

Пресс, У., Теукольский, С., Веттерлайн, У.Т., и Фланнери, Б.П., 2007, Численные рецепты: Искусство научного вычисления, гл. 12-13. Cambridge Univ. Press, Кембридж, Великобритания.

Примеры

Примеры см. в соответствующих функциях.

© 2005–2019 NumPy Developers
Licensed under the 3-clause BSD License.
https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.15.4/reference/routines.fft.html