Eigen::GeneralizedSelfAdjointEigenSolver

Конструктор по умолчанию для матриц фиксированного размера.

Конструктор по умолчанию полезен в тех случаях, когда пользователь намерен выполнить разложения с помощью compute(). Этот конструктор может быть использован только если _MatrixType является матрицей фиксированного размера; используйте GeneralizedSelfAdjointEigenSolver(Index) для матриц динамического размера.

Конструктор, предварительно выделяет память для матриц динамического размера.

Parameters

[in]

size

Положительное целое число, размер матрицы, собственные значения и собственные векторы которой будут вычислены.

Этот конструктор полезен для матриц динамического размера, когда пользователь намерен выполнять разложения с помощью compute(). Параметр size используется только в качестве подсказки. Неправильное значение size не является ошибкой, но может повлиять на производительность.

См. также

compute() для примера

Конструктор; вычисляет обобщенное собственное разложение заданного матричного пучка.

Parameters

[in]	matA	Эрмитова матрица в матричном пучке. Используется только нижняя треугольная часть матрицы.
[in]	matB	Положительно определенная матрица в матричном пучке. Используется только нижняя треугольная часть матрицы.
[in]	options	Объединение флагов {ComputeEigenvectors,EigenvaluesOnly} | {Ax_lBx,ABx_lx,BAx_lx}. По умолчанию ComputeEigenvectors|Ax_lBx.

Этот конструктор вызывает compute(const MatrixType&, const MatrixType&, int) для вычисления собственных значений и (если запрошено) собственных векторов обобщённой задачи на собственные значения \( Ax = \lambda B x \) с matA — эрмитовой матрицей \( A \) и matB — положительно определённой матрицей \( B \). Каждый собственный вектор \( x \) удовлетворяет свойству \( x^* B x = 1 \). Собственные векторы вычисляются, если options содержит ComputeEigenvectors.

Кроме того, два следующих варианта могут быть решены с помощью options:

• ABx_lx: \( ABx = \lambda x \)
• BAx_lx: \( BAx = \lambda x \)

Пример:

MatrixXd X = MatrixXd::Random(5,5);
MatrixXd A = X + X.transpose();
cout << "Here is a random symmetric matrix, A:" << endl << A << endl;
X = MatrixXd::Random(5,5);
MatrixXd B = X * X.transpose();
cout << "and a random postive-definite matrix, B:" << endl << B << endl << endl;
 
GeneralizedSelfAdjointEigenSolver<MatrixXd> es(A,B);
cout << "The eigenvalues of the pencil (A,B) are:" << endl << es.eigenvalues() << endl;
cout << "The matrix of eigenvectors, V, is:" << endl << es.eigenvectors() << endl << endl;
 
double lambda = es.eigenvalues()[0];
cout << "Consider the first eigenvalue, lambda = " << lambda << endl;
VectorXd v = es.eigenvectors().col(0);
cout << "If v is the corresponding eigenvector, then A * v = " << endl << A * v << endl;
cout << "... and lambda * B * v = " << endl << lambda * B * v << endl << endl;

Вывод:

Here is a random symmetric matrix, A:
  1.36 -0.816  0.521   1.43 -0.144
-0.816 -0.659  0.794 -0.173 -0.406
 0.521  0.794 -0.541  0.461  0.179
  1.43 -0.173  0.461  -1.43  0.822
-0.144 -0.406  0.179  0.822  -1.37
and a random postive-definite matrix, B:
  0.132  0.0109 -0.0512  0.0674  -0.143
 0.0109    1.68    1.13   -1.12   0.916
-0.0512    1.13     2.3   -2.14    1.86
 0.0674   -1.12   -2.14    2.69   -2.01
 -0.143   0.916    1.86   -2.01    1.68

The eigenvalues of the pencil (A,B) are:
  -227
  -3.9
-0.837
 0.101
  54.2
The matrix of eigenvectors, V, is:
   14.2   -1.03  0.0766 -0.0273   -8.36
 0.0546  -0.115   0.729   0.478   0.374
  -9.23   0.624 -0.0165   0.499    3.01
   7.88     1.3   0.225   0.109   -3.85
   20.8   0.805  -0.567 -0.0828   -8.73

Consider the first eigenvalue, lambda = -227
If v is the corresponding eigenvector, then A * v = 
 22.8
-28.8
 19.8
 21.9
-25.9
... and lambda * B * v = 
 22.8
-28.8
 19.8
 21.9
-25.9

См. также

compute(const MatrixType&, const MatrixType&, int)

Вычисляет обобщённое собственное разложение заданного матричного пучка.

Parameters

[in]	matA	Эрмитова матрица в матричном пучке. Используется только нижняя треугольная часть матрицы.
[in]	matB	Положительно определённая матрица в матричном пучке. Используется только нижняя треугольная часть матрицы.
[in]	options	Объединение флагов {ComputeEigenvectors,EigenvaluesOnly} | {Ax_lBx,ABx_lx,BAx_lx}. По умолчанию ComputeEigenvectors|Ax_lBx.

Возвращает

Ссылка на *this

Согласно options, эта функция вычисляет собственные значения и (если запрошено) собственные векторы одной из следующих трёх обобщенных задач на собственные значения:

• Ax_lBx: \( Ax = \lambda B x \)
• ABx_lx: \( ABx = \lambda x \)
• BAx_lx: \( BAx = \lambda x \) с matA — эрмитовой матрицей \( A \) и matB — положительно определённой матрицей \( B \). Кроме того, каждый собственный вектор \( x \) удовлетворяет свойству \( x^* B x = 1 \).

Функция eigenvalues() может быть использована для получения собственных значений. Если options содержит ComputeEigenvectors, то собственные векторы также вычисляются и могут быть получены вызовом eigenvectors().

Реализация использует LLT для вычисления разложения Холецкого \( B = LL^* \) и вычисляет классическое собственное разложение эрмитовой матрицы \( L^{-1} A (L^*)^{-1} \) если options содержит Ax_lBx и \( L^{*} A L \) в противном случае. Это решает обобщенную задачу на собственные значения, потому что любое решение обобщенной задачи на собственные значения \( Ax = \lambda B x \) соответствует решению \( L^{-1} A (L^*)^{-1} (L^* x) = \lambda (L^* x) \) задачи на собственные значения для \( L^{-1} A (L^*)^{-1} \). Аналогичные утверждения могут быть сделаны для двух других вариантов.

Пример:

MatrixXd X = MatrixXd::Random(5,5);
MatrixXd A = X * X.transpose();
X = MatrixXd::Random(5,5);
MatrixXd B = X * X.transpose();
 
GeneralizedSelfAdjointEigenSolver<MatrixXd> es(A,B,EigenvaluesOnly);
cout << "The eigenvalues of the pencil (A,B) are:" << endl << es.eigenvalues() << endl;
es.compute(B,A,false);
cout << "The eigenvalues of the pencil (B,A) are:" << endl << es.eigenvalues() << endl;

Вывод:

The eigenvalues of the pencil (A,B) are:
  0.0289
   0.299
    2.11
    8.64
2.08e+03
The eigenvalues of the pencil (B,A) are:
0.000481
   0.116
   0.473
    3.34
    34.6

См. также

GeneralizedSelfAdjointEigenSolver(const MatrixType&, const MatrixType&, int)