Eigen::RealQZ

template<typename _MatrixType>
class Eigen::RealQZ< _MatrixType >

Выполняет вещественное QZ-разложение пары квадратных матриц.

Определено в модуле Eigenvalues.

#include <Eigen/Eigenvalues> 

Параметры шаблона

_MatrixType

тип матрицы, для которой вычисляется вещественное QZ-разложение; ожидается, что это будет экземпляр шаблона класса Matrix.

Даны вещественные квадратные матрицы A и B, этот класс вычисляет вещественное QZ-разложение: \( A = Q S Z \), \( B = Q T Z \), где Q и Z — вещественные ортогональные матрицы, T — верхнетреугольная матрица, а S — верхнеквазитреугольная матрица. Ортогональная матрица — это матрица, обратная которой равна её транспонированной, \( U^{-1} = U^T \). Квазитреугольная матрица — это блочно-треугольная матрица, диагональ которой состоит из блоков 1x1 и 2x2, где дальнейшее сокращение невозможно из-за комплексных собственных значений.

Собственные значения пучка \( A - z B \) можно получить из блоков 1x1 и 2x2 на диагоналях S и T.

Вызовите функцию compute(), чтобы вычислить вещественное QZ-разложение заданной пары матриц. В качестве альтернативы можно использовать конструктор RealQZ(const MatrixType& B, const MatrixType& B, bool computeQZ), который вычисляет вещественное QZ-разложение во время создания. После вычисления разложения можно использовать функции matrixS(), matrixT(), matrixQ() и matrixZ() для получения матриц S, T, Q и Z в разложении. Если computeQZ == false, некоторое время экономится за счёт того, что матрицы Q и Z не вычисляются.

Пример:

MatrixXf A = MatrixXf::Random(4,4);
MatrixXf B = MatrixXf::Random(4,4);
RealQZ<MatrixXf> qz(4); // preallocate space for 4x4 matrices
qz.compute(A,B);  // A = Q S Z,  B = Q T Z
 
// print original matrices and result of decomposition
cout << "A:\n" << A << "\n" << "B:\n" << B << "\n";
cout << "S:\n" << qz.matrixS() << "\n" << "T:\n" << qz.matrixT() << "\n";
cout << "Q:\n" << qz.matrixQ() << "\n" << "Z:\n" << qz.matrixZ() << "\n";
 
// verify precision
cout << "\nErrors:"
  << "\n|A-QSZ|: " << (A-qz.matrixQ()*qz.matrixS()*qz.matrixZ()).norm()
  << ", |B-QTZ|: " << (B-qz.matrixQ()*qz.matrixT()*qz.matrixZ()).norm()
  << "\n|QQ* - I|: " << (qz.matrixQ()*qz.matrixQ().adjoint() - MatrixXf::Identity(4,4)).norm()
  << ", |ZZ* - I|: " << (qz.matrixZ()*qz.matrixZ().adjoint() - MatrixXf::Identity(4,4)).norm()
  << "\n";

Вывод:

A:
   0.68   0.823  -0.444   -0.27
 -0.211  -0.605   0.108  0.0268
  0.566   -0.33 -0.0452   0.904
  0.597   0.536   0.258   0.832
B:
 0.271 -0.967 -0.687  0.998
 0.435 -0.514 -0.198 -0.563
-0.717 -0.726  -0.74 0.0259
 0.214  0.608 -0.782  0.678
S:
-0.668   1.26 -0.598 0.0941
 0.317  -0.27 -0.279   0.64
     0      0 -0.398 -0.164
     0      0      0  -1.12
T:
 -1.55      0  0.342  -0.54
     0   1.01 -0.457  0.128
     0      0  -1.25  0.438
     0      0      0  0.746
Q:
-0.587 -0.138  0.552  0.576
  0.19 -0.208  0.761 -0.585
-0.292  0.918  0.152 -0.223
-0.731  -0.31 -0.306 -0.526
Z:
-0.0204   0.213   -0.78   0.588
 -0.961  -0.184   -0.14  -0.153
 -0.269   0.783   0.462    0.32
-0.0674  -0.555   0.398   0.727
 
Errors:
|A-QSZ|: 1.36e-06, |B-QTZ|: 1.83e-06
|QQ* - I|: 8.18e-07, |ZZ* - I|: 7.36e-07

Примечание

Реализация основана на алгоритме из книги «Матричные вычисления» Дж. Голуба и Ч. Вэн Лоана, а также на статье «Алгоритм для обобщённых задач на собственные значения» К. Молера и Дж. Стюарта.

См. также

класс RealSchur, класс ComplexSchur, класс EigenSolver, класс ComplexEigenSolver